Konvergenzkriterium von Pringsheim

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Die Konvergenzkriterium von Pringsheim oder auch Hauptkriterium von Pringsheim ist ein Kriterium über das Konvergenzverhalten von unendlichen Kettenbrüchen. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim und gehört zu den klassischen Lehrsätzen der Kettenbruchlehre innerhalb der Analytischen Zahlentheorie.[1][2] In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Kriterium auch unter dem Namen Śleszyński-Pringsheim's theorem (u. ä.) geführt,[3] wobei der erstgenannte Name auf den polnisch-russischen Mathematiker Ivan Śleszyński (1854–1931) verweist, welcher dieses Kriterium ebenfalls und schon vor Pringsheim gefunden hatte. Es gibt Hinweise darauf, dass Alfred Pringsheim die entsprechende Veröffentlichung von Ivan Śleszyński möglicherweise kannte, als er seine Veröffentlichung im Jahre 1898 machte.[4] Anzufügen ist hier aber auch der Hinweis von Oskar Perron im Band II seiner Lehre von den Kettenbrüchen, wonach der wesentliche Inhalt dieses Satzes schon in dem Lehrbuch der algebraischen Analysis von Moritz Abraham Stern (Leipzig 1860) zu finden ist.[5]

Formulierung der Kriteriums[Bearbeiten]

Teil I[Bearbeiten]

Für zwei Zahlenfolgen komplexer Zahlen    (a_i)_{i=1,2,3\dots}   und    (b_i)_{i=1,2,3\dots} [6]   mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

 | b_i | \geq   | a_i | + 1    (i=1,2,3 \dots)[7]

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+ \ddots}}}

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

f_n={\cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{ \ddots + \cfrac{a_n}{b_n} }}} }    (n=1,2,3, \dots)

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert  f \in \C mit

  f = \lim_{n\to\infty} f_n = {\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+ \ddots}}}  }  .

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

Teil II[Bearbeiten]

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

|f_n| < 1    (n=1,2,3 \dots)   und damit   |f| \leq 1.

Teil III[Bearbeiten]

Der Grenzfall   |f| = 1   liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)    | b_i | = {| a_i | + 1}    (i=1,2,3 \dots)
(IIIb)   Alle    {\frac{a_{i+1}}{{b_i} \cdot {b_{i+1}}}}    (i=1,2,3 \dots) sind negative reelle Zahlen.
(IIIc) Die Reihe     {\sum_{i=1}^\infty {|a_1 \cdot a_2 \cdots  a_i|}}   ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert   f = {\frac {a_1 \cdot |b_1|}{|a_1| \cdot b_1}}

Folgerungen[Bearbeiten]

Aus dem Konvergenzkriterium von Pringsheim lassen sich die mehrere weitere Konvergenzkriterien ableiten. Dazu zählen die folgenden:[8][9][10]

Folgerung I: Der Satz von Worpitzky[Bearbeiten]

Für eine Zahlenfolge komplexer Zahlen    (a_i)_{i=1,2,3\dots}  , welche in allen Folgengliedern die Ungleichung

 | a_i | \leq  \frac {1}{4}    (i=1,2,3 \dots)

erfüllt, ist der Kettenbruch

\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{1} = \cfrac{a_1}{1+\cfrac{a_2}{1+\cfrac{a_3}{1+ \ddots}}}

stets konvergent.

Dabei gilt für die Näherungsbrüche    f_n    (i=1,2,3 \dots)   stets

 |f_n| < \frac {1}{2}

und dementsprechend für den Wert    f   des Kettenbruchs

 |f| \leq  \frac {1}{2}

Der Satz von Worpitzky wurde im Jahre 1865 von Julius Worpitzky veröffentlicht[11] und gilt als das erste Konvergenzkriterium für Kettenbrüche mit Elementen der komplexen Ebene.[12]

Folgerung II: Weiteres Konvergenzkriterium von Pringsheim[Bearbeiten]

Durch Spezialisierung findet man mit dem Konvergenzkriterium von Pringsheim ein weiteres, welches Alfred Pringsheim in seiner Arbeit Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche in den Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften von 1898 selbst formuliert hat[13] und welches wie folgt lautet:

Für eine Zahlenfolge komplexer Zahlen    (b_i)_{i=1,2,3\dots}  , welche in allen Folgengliedern die Ungleichung

 {\frac {1}{| b_{2i-1}|} + \frac {1}{| b_{2i}|}} \leq  1    (i=1,2,3 \dots)

erfüllt, ist der reguläre Kettenbruch

\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i} = \cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\cfrac{1}{b_3+ \ddots}}}

stets konvergent.

Dieses weitere Konvergenzkriterium von Pringsheim ist beispielsweise immer anwendbar für den Fall, dass alle Teilnenner    b_i    (i=1,2,3 \dots) mindestens den Betrag 2 haben.

Zugehörige Kriterien: Die Sätze von Stern-Stolz und von Seidel-Stern sowie der Konvergenzsatz von Tietze[Bearbeiten]

Im Falle der regulären unendlichen Kettenbrüche existieren hinsichtlich der Frage der Konvergenz und Divergenz einige Kriterien, welche als Ergänzung zum pringsheimschen Konvergenzkriterium immer wieder zum Tragen kommen. Dazu zählen die im Folgenden dargestellten Sätze, welche neben diesem zu den klassischen Resultaten der Kettenbruchkonvergenztheorie zählen.

Satz von Stern-Stolz[Bearbeiten]

Der Satz von Stern-Stolz formuliert eine sehr allgemeine Bedingung für die Divergenz regulärer unendlicher Kettenbrüche und lautet wie folgt:[14][15][16]

Ein beliebiger komplexer Kettenbruch

{\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}}

zu einer Zahlenfolge komplexer Zahlen    b_i \in \C    (i=1,2,3\dots)  

ist in jedem Falle divergent, wenn die zugehörige Reihe

 \sum_{i=1}^\infty b_i

absolut konvergent ist. D. h.: Für die Konvergenz des Kettenbruchs ist es stets notwendig, dass

 \sum_{i=1}^\infty {|b_i|} = \infty

gilt.

Dieses Kriterium geht auf Moritz Abraham Stern und Otto Stolz zurück.[17][18][19][20][21]

Satz von Seidel-Stern[Bearbeiten]

Der Satz von Seidel-Stern verschärft den Satz von Stern-Stolz für den Fall regulärer unendlicher Kettenbrüche mit durchweg positiven Teilnennern, indem er die zuletzt genannte Bedingung sogar als notwendige und hinreichende Bedingung ausweist. Er lautet also:

Für eine Zahlenfolge positiver reeller Zahlen    (b_i)_{i=1,2,3\dots}   konvergiert der Kettenbruch

{\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}}

dann und nur dann, wenn die zugehörige Reihe

 \sum_{i=1}^\infty b_i

divergiert.

Dieses Kriterium geht auf Philipp Ludwig von Seidel und Moritz Abraham Stern zurück.[22][23][24][25] Es kommt zum Tragen, wenn die in Teil I des pringsheimschen Kriteriums genannte Ungleichung nicht durchgängig erfüllbar ist, jedoch in Verbindung mit der vorausgesetzten Positivität der Teilnenner durch die Reihendivergenzbedingung ersetzt werden kann.

Konvergenzsatz von Tietze[Bearbeiten]

Der Konvergenzsatz von Tietze behandelt ebenfalls das Konvergenzverhalten unendlicher Kettenbrüchen. Er geht zurück auf den deutschen Mathematiker Heinrich Tietze und besagt folgendes:[26][27]

Es seien zwei Zahlenfolgen reeller Zahlen    (a_i)_{i=1,2,3\dots}   und    (b_i)_{i=0,1,2,3\dots}   gegeben, welche für alle Indizes    i \in \N   den folgenden drei Bedingungen genügen:

  (I)    | a_i | = 1 [28]
  (II)     b_i  \geq   1
  (III)    b_i  + a_{i+1}  \geq   1

Dann ist der zugehörige Kettenbruch

  (*)    b_0 + \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}

stets konvergent. Die Folge der Näherungsbrüche

f_n= b_0 +{\cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{ \ddots + \cfrac{a_n}{b_n} }}} }    (n=0,1,2,3, \dots)

konvergiert dabei in   \R   gegen den Grenzwert

f = \lim_{n\to\infty} f_n = b_0 + {\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+ \ddots}}}  }

und dabei gilt

  b_0 < f \leq b_0 + 1   , falls     a_1  = 1    ,

bzw.

  b_0 - 1 \leq f <  b_0   , falls     a_1  = -1    .

Darüber hinaus erfüllen die Nenner    B_n   der Näherungsbrüche   f_n      (n=0,1,2,3 \dots)   stets die Ungleichung

B_n \geq 1

und es ist

\lim_{n\to \infty} B_n = \infty

Zusammenhang mit Irrationalität[Bearbeiten]

Ausgehend vom Konvergenzsatz von Tietze lassen sich Irrationalitätsaussagen erzielen. Wie schon Heinrich Tietze selbst bewies, konvergiert jeder unendliche Kettenbruch der Form   (*)   stets - mit einer einzigen Ausnahme! - gegen eine irrationale Zahl   f , sofern man die Bedingungen wie folgt verschärft:[29]

  (Ia)    | a_i | = 1
  (IIb)     b_0  \in \Z  ,   (IIa)     b_i  \in \N
  (IIIa)    a_{i+1} =  1  , sofern    b_i  = 1
   (i=1,2,3\dots)

Die Ausnahme liegt dann vor, wenn ab einem Index    i_0   für alle Indizes    i > i_0   zusätzlich die folgende Ausnahmebedingung   (A)   erfüllt ist:

  (A)     a_i = -1   ,     b_i = 2

In diesem Ausnahmefall ist der Grenzwert   f   eine rationale Zahl.

Beispiele und Anwendung[Bearbeiten]

Beispiel I[Bearbeiten]

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim konvergiert der folgende unendliche Kettenbruch:


\begin{align}
g  &=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{i}{i+1} \\
      &= {\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\;\,\ddots}}}} } \\
\end{align}

Da   (IIIb)   nicht erfüllt ist, ist   Teil III   nicht anwendbar. Vielmehr ist

 g  = {\frac{1}{e-2}}- 1 = 0{,}3922111911773330\dotso  ,

wie sich aus den von Leonhard Euler und Ernesto Cesàro gefundenen Kettenbruchentwicklungen der eulerschen Zahl   e   ergibt.[30] Daher ist wegen der Transzendenz der eulerschen Zahl die Zahl   g   ebenfalls eine transzendente Zahl.

Beispiel II[Bearbeiten]

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim und sogar nach der oben genannten Folgerung II konvergiert genauso der reguläre Kettenbruch


\begin{align}
h  &=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{i+1} \\
      &= {\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}} } \\
\end{align}
 .

Hier ist

 h  = {\frac{1}{c_1}}- 1 = 0{,}433127426\dotso  ,

wobei   c_1 = 0{,}6977746579\dotso   eine Konstante darstellt, welche mit der Euler-Gompertz-Konstanten verwandt ist. Wie Carl Ludwig Siegel gezeigt hat, gehört auch   c_1   zu den transzendenten Zahlen.[31] Also ergibt sich auch hier, dass die Zahl   h   transzendent ist.

Beispiel III[Bearbeiten]

Nach der oben genannten Folgerung II konvergiert schließlich auch für beliebiges  z \in \C   ,     |z| \geq 2   immer der folgende unendliche Kettenbruch:[32]


\begin{align}
f(z)  &= \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{z} \\
      &= \cfrac{1}{z+\cfrac{1}{z+\cfrac{1}{z+ \ddots}}}  \\
\end{align}

Hierfür gilt:


\begin{align}
f(z)  &= \frac{1}{z + f(z)}\\
      &= \frac{\sqrt{z^2 + 4} - z}{2}\\
\end{align}
[33]   .

Insbesondere ergibt sich für   z = 2  :


\begin{align}
f(2)  &= \frac{\sqrt{8} - 2}{2}\\
      &= \sqrt{2} - 1\\
\end{align}
 

und so


\begin{align}
\sqrt{2}  &= 1 + {\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{2}} \\
          &= 1 + {\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+ \ddots}}}}  \\
\end{align}
  .

Beispiel IV[Bearbeiten]

Wenn man in Beispiel III   z = 1   einsetzt, so erhält man ebenfalls einen konvergenten unendlichen Kettenbruch   \psi   , wobei hier die Konvergenz zwar nicht durch das Konvergenzkriterium von Pringsheim, jedoch durch das Seidel-Sternsche Kriterium gesichert ist.

Es gilt nämlich


\begin{align}
\psi      &= {\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{1}} \\
          &= 1 + {\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \ddots}}}}  \\
          &= \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\
          &= \frac{1}{\Phi}         \\
\end{align}
  ,

wobei   \Phi   für die Goldene Zahl steht.[34]

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Wird in Beispiel III   z = {\mathrm i}   gesetzt, also gleich der imaginären Einheit, so erhält man keinen konvergenten unendlichen Kettenbruch . Der unendliche Kettenbruch


\begin{align}
f(z)  &= \underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{\mathrm i} \\
      &= \cfrac{1}{{\mathrm i}+\cfrac{1}{{\mathrm i}+\cfrac{1}{{\mathrm i}+ \ddots}}}  \\
\end{align}

ist also divergent, obwohl die Reihe

 \sum_{n=1}^\infty b_n

mit   b_n = {\mathrm i}    (n=1,2,3\dots)   selbst auch divergiert.

Dies zeigt, dass der Satz von Stern-Stolz im Allgemeinen nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von regulären unendlichen Kettenbrüchen angibt.[35]

Anwendung: Darstellung reeller Zahlen durch negativ-regelmäßige Kettenbrüche[Bearbeiten]

Ein unendlicher reeller Kettenbruch der Form

(*)  b_0 +{\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{-1}{b_i}}= b_0 -{\cfrac{1}{b_1-\cfrac{1}{b_2-\cfrac{1}{b_3-\ddots}}} }

zu natürlicher Zahlen      b_i \in \N   mit    b_i \geq 2    (i=1,2,3\dots)   und zu ganzzahligem Anfangsglied  b_0 \in \Z   heißt nach Alfred Pringsheim negativ-regelmäßig.

Die Namensgebung erklärt sich aus der engen Verwandtschaft mit den regelmäßigen Kettenbrüchen, welche Pringsheim in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre ebenfalls behandelt.[36]

Jeder unendliche negativ-regelmäßige Kettenbruch ist nach dem pringsheimschen Konvergenzkriterium konvergent.[37]

Ausgehend davon erhält man den folgenden Darstellungssatz:[38][39]

Formulierung des Darstellungssatzes[Bearbeiten]

Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl    \xi \in \R   durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner    (b_i)_{i=0,1,2,3\dots}   durch   \xi   eindeutig bestimmt ist.

Zusatz I: Algorithmus zur Bestimmung der Teilnenner[Bearbeiten]

Die Teilnenner lassen sich durch folgenden Algorithmus gewinnen:[40][41]


Für allgemeines    x \in \R   sei

 G(x)  

die kleinste ganze Zahl größer    x    . Man hat also stets

 x < G(x) \leq x+1  

und damit unter Benutzung der Gaußklammerfunktion

  G(x) = {\lfloor x \rfloor} + 1   .

Folglich ist stets

  \frac{1}{G(x) - x}  \geq 1   .

Damit wird zunächst mittels Rekursion eine Folge    (x_i)_{i=0,1,2,3\dots}   definiert:

x_0 := \xi
x_i := \frac{1}{G(x_{i-1}) - x_{i-1}}    (i=1,2,3 \dots)  

Dann setzt man

b_i := G(x_i)    (i=0,1,2,3 \dots)  .

Zusatz II: Unterscheidung rationaler und irrationaler Zahlen[Bearbeiten]

Eine rationale Zahl    \xi \in \Q   ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) ab einem gewissen Index    i_{\xi} \in \{ 0,1,2,3\dots \} für   i \geq i_{\xi}     jeder Teilnenner    b_i = 2   ist, während sich eine irrationale Zahl    \xi \in  {\R \setminus \Q}   dadurch auszeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) unendlich viele Teilnenner    b_{i_k}  \geq 3   sind    (k=0,1,2,3\dots)   .[42][43]

Beispiele für negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellungen[Bearbeiten]

Folgende Beispielen lassen sich angeben:[44][45]

1. Darstellung der 1
 1  = 2 - {\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\dotsb}}}}}}}} }

Dies folgt wegen  -1  = 1 - 2 direkt aus Teil III des pringsheimschen Kriteriums.

2. Darstellung der Wurzel aus 2
 \sqrt{2}  = 2 - {\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\dotsb}}}}}}}} }
3. Darstellung der Wurzel aus 3
 \sqrt{3}  = 2 - {\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\dotsb}}}}}}}} }
4. Darstellung der Wurzel aus 7
 \sqrt{7}  = 3 - {\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\dotsb}}}}}}}} }
5. Darstellungen zur goldenen Zahl
(a) 
\begin{align}
{\Phi}    &= \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \\
          &= 2 - {\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\dotsb}}}}}}}} } \\
\end{align}
 
(b) 
\begin{align}
\frac{1}{\Phi}  &=  {\Phi}  -1  \\
                &= \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\
                &= 1 - {\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\dotsb}}}}}}}} } \\
\end{align}
 

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Auf Alfred Pringsheim gehen noch weitere Konvergenzkriterien für unendliche Kettenbrüche zurück. Darüber hinaus gibt es noch eine erhebliche Anzahl anderer Konvergenzkriterien.[46][47][48][49]
  2. Aus dem Darstellungssatz folgt unmittelbar, dass die Menge der reellen Zahlen von überabzählbarer Mächtigkeit ist.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1.  Perron: S. 58.
  2.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 878 ff.
  3.  Lorentzen - Waadeland: S. 30 ff.
  4.  Thron: In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. 1, S. 13 ff.
  5.  Perron a.a.O.:
  6. Da hinsichtlich der Konvergenz und Divergenz der Kettenbrüche das Anfangsglied b_0 nie von Einfluss ist, wird es im Folgenden bei der Formulierung der Konvergenzkriterien i. d. R. nicht genannt. Durch die Addition eines Anfangsgliedes bleiben Konvergenz und Divergenz eines Kettenbruchs stets unberührt.
  7.  | \cdot | steht für den komplexen Betrag.
  8.  Perron: S. 61–62.
  9.  Lorentzen - Waadeland: S. 135.
  10.  Jones - Thron: S. 94.
  11.  Worpitzky: Untersuchungen.... In: Jahresbericht. S. 29–30.
  12.  Jones - Thron: S. 10, 94.
  13. Es wird ebenfalls in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre genannt; s. Band I.3, S. 880.
  14.  Perron: S. 42.
  15.  Lorentzen - Waadeland: S. 94.
  16.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 846.
  17.  Perron: S. 42.
  18.  Jones - Thron: S. 79.
  19.  Lorentzen - Waadeland: S. 94.
  20.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 846, 966.
  21. Allerdings wird im Zusammenhang mit diesem Satz bei  H. S. Wall: S. 27-28, 424. auf Helge von Koch und dessen Arbeit  Sur un théorème de Stieltjes et sur les fractions continues. In: Bull. Soc. Math. de France. 23, 1895, S. 23–40. verwiesen!
  22.  Perron: S. 46.
  23.  Lorentzen - Waadeland: S. 98.
  24.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 764, 962.
  25. Bei  Jones - Thron: S. 87. wird der Satz von Seidel-Stern in einer etwas verschärften Fassung dargestellt, welche Aussagen über das Konvergenzverhalten der Näherungsbrüche einbezieht.
  26.  Perron: S. 135 ff.
  27.  Tietze: In: Math. Ann.. 70, S. 236 ff.
  28.  | \cdot | steht für die Betragsfunktion.
  29.  Tietze: In: Math. Ann.. 70, S. 246 ff.
  30.  Perron: S. 19.
  31. Vgl.  Finch: S. 423.
  32.  Lorentzen - Waadeland: S. 32.
  33. Hier ist der Hauptwert der komplexen Quadratwurzelfunktion gemeint.
  34.  Lorentzen - Waadeland: S. 46.
  35.  Wall: S. 29.
  36. Die regelmäßigen Kettenbrüche zeichnen sich dadurch aus, dass sie regulär sind, dass alle ihre Teilnenner ab dem Index 1 natürliche Zahlen sind und dass das Anfangsglied jeweils ganzzahlig ist. Der Unterschied zwischen negativ-regelmäßigen Kettenbrüchen und regelmäßigen Kettenbrüchen liegt demnach im Vorzeichen der Teilzähler und darin, dass bei den regelmäßigen Kettenbrüchen auch der Teilnenner 1 zugelassen ist. Man betrachtet in beiden Fällen sowohl endliche als auch unendliche Kettenbrüche. Hier spielen allein die unendlichen Kettenbrüche eine Rolle. Vgl.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 752 ff, 773 ff, 812 ff.
  37. Ebenso konvergiert jeder unendliche regelmäßige Kettenbruch, und zwar nach dem Satz von Seidel-Stern; vgl.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 773.
  38.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 819.
  39.  Sierpiński: S. 337.
  40.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 818–819.
  41.  Sierpiński: S. 336–337.
  42.  Pringsheim: Vorlesungen .... I.3, S. 819.
  43.  Sierpiński: S. 337.
  44.  Sierpiński: S. 337–338.
  45.  Lorentzen - Waadeland: S. 562.
  46.  Perron: S. 38 ff.
  47.  Jones - Thron: S. 60–146.
  48.  Lorentzen - Waadeland: S. 32–36.
  49.  Wall: Analytic Theory ... .Part I: Convergence Theory Seiten =11 - 157.