Konvexer Kegel

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In der Mathematik ist ein konvexer Kegel ein Kegel, der unter Linearkombinationen mit positiven Koeffizienten abgeschlossen ist. Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der linearen Optimierung.

Ein konvexer Kegel (hellblau). Die violette Menge stellt die Linearkombinationen αx + βy mit positiven Koeffizienten α, β > 0 für die Punkte x und y dar. Die gekrümmten Linien am rechten Rand sollen andeuten, dass die Gebiete ins Unendliche auszudehnen sind.

Definition[Bearbeiten]

Eine Teilmenge K\subset \R^n ist ein konvexer Kegel, wenn aus x,y\in K und \alpha,\beta >0 stets

\alpha x +\beta y\in K

folgt.

Der Begriff lässt sich analog definieren für Vektorräume über angeordneten Körpern.

Kegel über Teilmengen der Sphäre[Bearbeiten]

Für eine Teilmenge \Omega\subset S^{n-1} der Einheitssphäre S^{n-1}=\left\{x\in\R^n\colon\parallel x\parallel=1\right\} heißt

C(\Omega)=\left\{rv\colon v\in \Omega, r\in\R_{>0}\right\}

der Kegel über \Omega.

Jeder Kegel K\subset\R^n ist von der Form K=C(\Omega) für \Omega=K\cap S^{n-1}.

Die Konvexität von Kegeln lässt sich durch folgende äquivalente geometrische Definition beschreiben: Ein Kegel K\subset \R^n ist genau dann ein konvexer Kegel, wenn der Durchschnitt mit jedem Großkreis der Einheitssphäre zusammenhängend ist.

Weitere Begriffe[Bearbeiten]

Ein Kegel heißt regulär, wenn

a\in K \wedge -a\in K\Longrightarrow a=0.

Die Automorphismengruppe eines Kegels K\subset\R^n ist

Aut(K)=\left\{A\in GL(n,\R): AK=K\right\}.

Ein Kegel heißt homogen, wenn die Automorphismengruppe transitiv auf K wirkt.

Er heißt symmetrisch, wenn es zu jedem x\in K eine Involution A\in Aut(K) mit x als einzigem Fixpunkt gibt. Symmetrische konvexe Kegel sind stets homogen.

Ein Kegel K\subset\R^n heißt reduzibel wenn er von der Form

K=K_1+K_2, K_1\subset R^p\times\left\{0\right\}^{n-p}, K_2\subset\left\{0\right\}^{p}\times\R^{n-p}

mit 0<p<n ist, irreduzibel sonst.

Der zu K\subset \R^n duale Kegel ist definiert als K^*=\left\{a\in \R^n: \langle b,a \rangle \ge 0\ \forall b\in K\right\}. Auch diese Definition lässt sich analog für Vektorräume mit Skalarprodukt über einem angeordneten Körper formulieren.

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn K=K^* ist.

Charakterisierung symmetrischer konvexer Kegel: Ein konvexer Kegel ist genau dann symmetrisch, wenn er offen, regulär, homogen und selbstdual ist.

Satz von Koecher-Vinberg[Bearbeiten]

Der positive Kegel einer Jordan-Algebra ist die Menge der Elemente mit positivem Spektrum. Eine Jordan-Algebra A heißt formal reell, wenn sich 0\in A nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. In einer formal reellen Jordan-Algebra gehört ein Element genau dann zum positiven Kegel, wenn es ein Quadrat ist.

Der Satz von Koecher-Vinberg besagt, dass die Konstruktion des positiven Kegels eine Bijektion zwischen formal reellen Jordan-Algebren und symmetrischen konvexen Kegeln herstellt.

Symmetrische konvexe Kegel werden deshalb auch als Positivitäts-Gebiet (engl.: domain of positivity) bezeichnet.

Klassifikation symmetrischer konvexer Kegel[Bearbeiten]

Max Koecher benutzte 1965 die Klassifikation formal reeller Jordan-Algebren zur Klassifikation der symmetrischen konvexen Kegel.

Die irreduziblen symmetrischen konvexen Kegel in \R^n sind durch die folgende Liste gegeben:

  • der Lorentz-Kegel \Lambda_n=\left\{x\in\R^n\colon x_1^2-x_2^2-\ldots-x_n^2>0, x_1>0\right\}
  • der Kegel \Pi_m(\R) der positiven symmetrischen m\times m-Matrizen für n=\frac{m^2+m}{2}
  • der Kegel \Pi_m(\C) der positiven hermiteschen komplexen m\times m-Matrizen für n=m^2
  • der Kegel \Pi_m(\H) der positiven hermiteschen quaternionischen m\times m-Matrizen für n=2m^2-m
  • und für n=27 der Kegel \Pi_3(O) mit Lie(Aut(\Pi_3(O)))=\mathfrak{e}_{6(-26)}\oplus\R.

Literatur[Bearbeiten]

  • Benoist, Yves: A survey on divisible convex sets. Geometry, analysis and topology of discrete groups, 1–18, Adv. Lect. Math. (ALM), 6, Int. Press, Somerville, MA 2008. pdf
  • Koecher, Max: The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Edited, annotated and with a preface by Aloys Krieg and Sebastian Walcher. Lecture Notes in Mathematics, 1710. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-66360-6.