Koordinatentransformation

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Bei einer Koordinatentransformation werden Koordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes übertragen. Formal gesehen ist dies der Übergang von den ursprünglichen Koordinaten (x_1, x_2,\dotsc, x_N) zu den neuen Koordinaten (x'_1, x'_2,\dotsc,x'_N). Die häufigsten Anwendungen finden sich in der Geometrie, der Geodäsie, der Bildmessung und bei technischen Aufgabenstellungen.

Typische Koordinatentransformationen entstehen durch Drehung (Rotation), Skalierung (Veränderung des Maßstabs), Scherung und Verschiebung (Translation) des Koordinatensystems, die auch kombiniert werden können.

Die neuen Koordinaten x'_i können beliebige Funktionen der alten Koordinaten x_i sein. In der Regel verwendet man spezielle Transformationen, bei denen diese Funktionen gewissen Einschränkungen – z. B. Differenzierbarkeit, Linearität oder Formtreue – unterliegen. Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder umgekehrt.

Ein Spezialfall der Koordinatentransformation ist der Basiswechsel in einem Vektorraum.

Lineare Transformationen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lineare Abbildung

Bei linearen Transformationen sind die neuen Koordinaten lineare Funktionen der ursprünglichen, also

x'_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n
x'_2 = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n
usw.

bzw.

\vec{x'}=A\vec{x}

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems stimmt dabei mit dem des ursprünglichen Koordinatensystems überein.

Drehung (Rotation)[Bearbeiten]

Drehung gegen den Uhrzeigersinn

Bei einer Drehung wird das Koordinatensystem gedreht. In zwei Dimensionen gibt es nur einen Rotationswinkel als Parameter. Im 3D-Raum kann man um alle drei Koordinatenachsen drehen. Dargestellt wird eine Drehung durch eine Drehmatrix.

Beispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten zwei (hier: dreidimensionale) kartesische Koordinatensysteme S und S' mit einer gemeinsamen z-Achse und gemeinsamem Ursprung. S' sei gegenüber S um den Winkel \varphi um die z-Achse gedreht. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten \vec p=(x, y, z) hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten:

x'=x\cos\varphi + y\sin\varphi,
y'= -x\sin\varphi + y\cos\varphi,
z'=z.

In Matrixschreibweise ergibt sich mit der inversen Drehmatrix für diese Rotation des Koordinatensystems:

\vec{p'} = \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \vec p .

Skalierung[Bearbeiten]

Skalierung

Bei der Skalierung werden die „Einheiten“ der Achsen geändert. Das heißt, die Zahlenwerte der Koordinaten x_i werden mit konstanten Faktoren \lambda_i multipliziert („skaliert“)

x_i'=\lambda_i\cdot x_i.

Die Parameter dieser Transformation sind die N Zahlen \lambda_i. Ein Spezialfall ist die „Maßstabsänderung“, bei der alle Faktoren den gleichen Wert haben

\lambda_i=\lambda.

Die Matrix A ist in diesem Fall das \lambda-fache der Einheitsmatrix.

Scherung[Bearbeiten]

Scherung

Bei der Scherung verändert sich der Winkel zwischen den Koordinatenachsen. Im 2D-Raum gibt es daher einen Parameter und im 3D-Raum drei Parameter.

Affine Transformationen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Affine Abbildung

Affine Transformationen bestehen aus einer oder mehreren einfachen Transformationen.

Sind beide beteiligten Koordinatensysteme linear, (d. h. im Prinzip durch einen Koordinatenursprung und gleichmäßig unterteilte Koordinatenachsen gegeben), so liegt eine affine Transformation vor. Hierbei sind die neuen Koordinaten affine Funktionen der ursprünglichen, also

x'_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n + b_1
x'_2 = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n + b_2
usw.

Dies kann man kompakt als Matrixmultiplikation des alten Koordinatenvektors \vec{x} = (x_1, \dots, x_n) mit der Matrix A, die die Koeffizienten a_{ij} enthält, und Addition eines Vektors \vec{b}, der die b_i enthält, darstellen

\vec{x}\,'=A \vec{x} + \vec{b}

Die Translation ist ein Spezialfall einer affinen Transformation, bei der A die Einheitsmatrix ist.

Verschiebung (Translation)[Bearbeiten]

Verschiebung

Eine Translation kann entweder als Verschiebung des Koordinatenursprungs oder (leichter vorstellbar) als Verschiebung der abgebildeten Objekte gedeutet werden. Im 2D-Raum erfordert eine Translation zwei Parameter: Verschiebung in x-Richtung (tx) und in y-Richtung (ty), analog dazu gibt es in 3D als dritten Parameter die Verschiebung in z-Richtung (tz).

Beispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S'. S' ist gegenüber S um den Vektor \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} verschoben. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten \vec{x} hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten \vec{x'}=\vec{x}-\vec{b}.

Beispiele[Bearbeiten]

Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten[Bearbeiten]

Hauptartikel: Polarkoordinaten

Ein Punkt in der Ebene wird im kartesischen Koordinatensystem durch seine Koordinaten (x,y) und im Polarkoordinatensystem durch den Abstand r vom Ursprung und dem (positiven) Winkel {} \varphi zur x-Achse bestimmt.

Dabei gilt für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

  • x=r\cdot\cos\varphi
  • y=r\cdot\sin\varphi

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt:

  • r=\sqrt{x^2+y^2}
  • \varphi =  \begin{cases}\arctan\frac yx&\mathrm{f\ddot ur}\ x>0\\
\arctan\frac yx+\pi&\text{für}\ x<0,\,y\geq0\\
\arctan\frac yx-\pi&\text{für}\ x<0,\,y<0\\
\pi/2&\text{für}\ x=0,\,y>0\\
-\pi/2&\text{für}\ x=0,\,y<0
\end{cases}
{}=\begin{cases}\arccos\frac xr&\text{für}\ y\geq0\\
\arccos\left(-\frac xr\right)-\pi&\text{für}\ y<0
\end{cases}

Weitere Anwendungen[Bearbeiten]

In der Physik spielt die Invarianz gewisser Naturgesetze unter Koordinatentransformationen eine besondere Rolle, siehe hierzu Symmetrietransformation. Von besonders grundlegender Bedeutung sind die Galilei-Transformation, Lorentz-Transformation und die Eichtransformation. Häufig gebraucht werden auch Transformationen von Operatoren und Vektoren:

In den Geowissenschaften - insbesondere der Geodäsie und Kartografie gibt es noch weitere Transformationen, die formal Koordinatentransformationen darstellen.

Im Bereich Robotik gilt die Denavit-Hartenberg-Transformation als das Standardverfahren.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]