Koprodukt

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Begriff des Koproduktes eine Verallgemeinerung der so genannten disjunkten Vereinigung von Mengen. Es ist der duale Begriff zum Produkt.

Definition[Bearbeiten]

Diagramm zum Koprodukt

Sind X_j Objekte einer Kategorie C, so heißt ein Objekt X zusammen mit Morphismen i_j: X_j \rightarrow X Koprodukt der X_j, geschrieben

\coprod X_j,

falls die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jedes Objekt Y von C und Morphismen f_j: X_j \rightarrow Y gibt es genau einen Morphismus f:X \rightarrow Y, so dass f_j=f\circ i_j für alle j gilt.

Äquivalent dazu kann man fordern, dass

\mathrm{Mor}_C(\coprod X_j,Y)=\prod\mathrm{Mor}_C(X_j,Y)

gilt; dabei vermitteln die i_j die natürliche Äquivalenz.

Beispiele[Bearbeiten]

Kategorie Koprodukt
Mengen disjunkte Vereinigung
Gruppen freies Produkt
Vektorräume direkte Summe
abelsche Gruppen
Moduln über einem Ring
topologische Räume disjunkte Vereinigung mit der offensichtlichen Topologie
kommutative Ringe mit Einselement Tensorprodukt
Banachräume (mit linearen Kontraktionen als Morphismen) Abzählbare Linearkombinationen mit \ell^1, das heißt absolut summablen, Koeffizienten, mit der gewichteten Summe der Normen als Norm
Partielle Ordnung Supremum