Korrespondenz (Mathematik)

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In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion. Während eine Funktion im üblichen Sinn jedem Element der Definitionsmenge ein einziges Element der Zielmenge als Funktionswert zuordnet, können bei einer mehrwertigen Funktion einem Element der Definitionsmenge mehrere Elemente der Zielmenge zugeordnet werden. Beim Begriff der Korrespondenz werden diese mehreren Funktionswerte zu einer Menge (also einer Teilmenge der Zielmenge) zusammengefasst. Eine Korrespondenz von einer Menge A in eine Menge B ist somit eine Funktion, die jedem Element von A eine Teilmenge von B zuordnet.

Definition[Bearbeiten]

Eine Korrespondenz von einer Menge A in eine Menge B ist eine Abbildung \phi von A in die Potenzmenge von B.

Korrespondenzen als Relation[Bearbeiten]

Eine Korrespondenz \phi von A nach B kann mit der Relation R= \{(a,b) \in A \times B \mid b \in \phi(a) \} identifiziert werden, denn aus der Relation R\subseteq A\times B erhält man durch die Definition \phi(a) = \{b\in B \mid (a,b) \in R\} wieder die Korrespondenz zurück.

Demnach sind Relation und Korrespondenz identische Begriffe, bei der Korrespondenz steht aber die Interpretation als Abbildung einer Menge in die Potenzmenge einer zweiten im Vordergrund.

Eigenschaften von Korrespondenzen[Bearbeiten]

Sind A und B topologische Räume, so lassen sich interessante Eigenschaften von Korrespondenzen \phi zwischen A und B definieren.

Man nennt \phi abgeschlossen (offen), wenn die zugehörige Relation im Produktraum abgeschlossen (offen) ist.

Ein Fixpunkt einer Korrespondenz \phi von A nach A ist ein Punkt a\in A mit a\in \phi(a) .

Der folgende, nicht-konstruktive Existenzsatz von Shizuo Kakutani sichert die Existenz von Fixpunkten.

Fixpunktsatz von Kakutani[Bearbeiten]

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Sei A\subset {\mathbb R}^n nicht leer, konvex und kompakt, und sei \phi eine abgeschlossene Korrespondenz von A nach A derart, dass \phi(a) für jedes a konvex und nicht leer ist. Dann besitzt \phi einen Fixpunkt.

Anwendungen[Bearbeiten]

Dieser Fixpunktsatz verallgemeinert den brouwerschen Fixpunktsatz, denn eine Abbildung f:A\rightarrow A kann man als Korrespondenz \phi mit \phi(a) = \{f(a)\} auffassen, und ein Fixpunkt von \phi ist ein Fixpunkt von f.

In der mathematischen Wirtschaftstheorie führt dieser Satz zu interessanten Existenzsätzen über Gleichgewichtspreise. In der mathematischen Spieltheorie hat John Forbes Nash diesen Satz verwendet, um die Existenz von Gleichgewichtspunkten in gewissen kooperativen Zweipersonenspielen zu zeigen (siehe Nash-Gleichgewicht).

Literatur[Bearbeiten]

  • Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Verlag Anton Hain Meisenheim GmbH (1986)
  • Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner Studienbücher (1979)
  • Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.609