Sekans und Kosekans

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Definitionen am Einheitskreis

Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit $sec(x)$ bezeichnet, der Kosekans mit $csc(x)$ . Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

$\overline{OT} = \operatorname{sec}(b) \qquad\qquad \overline{OK} = \operatorname{csc}(b)$

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwertfunktion der Sinusfunktion:

$\sec (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \frac{c}{b} \qquad \qquad \csc (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \frac{c}{a}$

$\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Graphen

Graph der Sekansfunktion

Graph der Kosekansfunktion

[Bearbeiten] Definitionsbereich

Sekans:	$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}$
Kosekans:	$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne n \cdot \pi\ ; \, n \in \mathbb{Z}$

[Bearbeiten] Wertebereich

$-\infty < f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) < +\infty$

[Bearbeiten] Periodizität

Periodenlänge $2 \cdot \pi \,:\, f(x+2\pi) = f(x)$

[Bearbeiten] Symmetrien

Sekans:	Gerade Funktion: $f (x) = f ( - x)$
Kosekans:	Ungerade Funktion: $f ( - x) = - f (x)$

[Bearbeiten] Polstellen

Sekans:	$x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}$
Kosekans:	$x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$

[Bearbeiten] Extremwerte

Sekans:	Minima:	$x = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$	Maxima:	$x = \left( 2n - \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$
Kosekans:	Minima:	$x = 2n \cdot \pi \,;\, n \in \mathbb{Z}$	Maxima:	$x = (2n - 1) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$

Weder die Sekansfunktion noch die Kosekansfunktion haben horizontale Asymptoten, Sprungstellen, Wendepunkte oder Nullstellen.

[Bearbeiten] Umkehrfunktionen

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. $x \in [0 , \pi]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):

$x = \operatorname{arcsec}(y)$

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. $x \in \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):

$x = \operatorname{arccsc}(y)$

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

Sekans:

$\sec(x) = 4\pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(2k+1)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 }$

Kosekans:

$\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2} = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k \, x}{x^2-k^2\pi^2}$

[Bearbeiten] Ableitung

Sekans:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{csc}(x)}$

Kosekans

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{csc}(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac\operatorname{1}{\operatorname{sin}(x)}= - \operatorname{csc}(x) \cdot \cot(x) = - \frac{\operatorname{csc}^2(x)}{\operatorname{sec}(x)} =-\frac{\operatorname{cos}(x)}{\operatorname{sin}^2(x)}$

[Bearbeiten] Integral

Sekans:

$\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right|=\ln\Big|\sec(x)+\tan(x)\Big|$

Kosekans

$\int\csc(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|=\ln\left|\tan \left(\frac{x}{2} \right)\right|$

[Bearbeiten] Komplexes Argument

$\sec(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{2\cos(x)\cosh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\sin(x)\sinh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}$ mit $x,y \in \mathbb{R}$

$\csc(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}$ mit $x,y \in \mathbb{R}$