Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus

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Sekans Hyperbolicus (blau) und Kosekans Hyperbolicus (rot)

Die Funktionen Kosekans Hyperbolicus (csch) und Sekans Hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Definitionen[Bearbeiten]


\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\cosh x}\\
\operatorname{csch}\ x &= \frac{2}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{\sinh x}
\end{align}

Eigenschaften[Bearbeiten]

  Sekans Hyperbolicus Kosekans Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty \, ; \, x \ne 0
Wertebereich  0 < f(x) \le 1   - \infty <  f(x) < + \infty \, ; \, f(x)\ne 0
Periodizität keine keine
Monotonie x < 0 streng monoton steigend
x > 0 streng monoton fallend
x > 0 streng monoton fallend
x < 0 streng monoton fallend
Symmetrien Spiegelsymmetrie zur y-Achse Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptote  f(x) \to 0 für  x \to \pm \infty  f(x) \to 0 für x \to \pm \infty
Nullstellen keine keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine x = 0
Extrema Maximum bei x = 0 keine
Wendepunkte  x = \pm \frac{1}{2} \ln {\left( \frac {3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}\right)} keine

Umkehrfunktionen[Bearbeiten]

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:


\begin{align}
x &= \operatorname{arsech}\ y\\
x &= \operatorname{arcsch}\ y
\end{align}

Ableitungen[Bearbeiten]


\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{sech}\ x &= -{\frac{\sinh x}{\cosh^2 x}}\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{csch}\ x &= - \operatorname{csch}\ x \cdot \operatorname{coth}\ x  =  - \operatorname{csch}\ x \cdot\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 x}\\
\end{align}

Integrale[Bearbeiten]


\begin{align}
\int\operatorname{sech} x\ \mathrm dx &= \arctan \left( \sinh x \right) + \text{konst.}\\ 
\int\operatorname{csch} x\ \mathrm dx &= \ln \left| \operatorname{tanh}\, \frac{x}{2} \right| + \text{konst.}
\end{align}

Reihenentwicklungen[Bearbeiten]


\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(8k + 4)\pi}{(2k+1)^2\pi^2+4 x^2}\\
\operatorname{csch}\ x &= 1/x + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2 x}{k^2\pi^2+x^2}
\end{align}

Komplexes Argument[Bearbeiten]


\begin{align}
&\operatorname{sech}(x+\mathrm i y) = \frac{2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + \mathrm{i} \frac{-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}\\
&\operatorname{sech}  (\mathrm i y) = \sec(y)\\
&\operatorname{csch}(x+\mathrm iy) = \frac{2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}\\
&\operatorname{csch}(\mathrm iy) = -\mathrm i\csc (y)
\end{align}

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]