Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel x^2 - y^2 = 1 im Punkt (\cosh\,A,\sinh\,A), wobei A für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die x-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole \sinh bzw. \cosh, in älteren Quellen auch \mathfrak{Sin} und \mathfrak{Cos}[1]. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen[Bearbeiten]

  • Sinus Hyperbolicus
\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i\,\sin(i\,x)
  • Kosinus Hyperbolicus
\cosh x =  \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) = \cos(i\,x)

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Funktion ex.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sinus Hyperbolicus (rot) und Kosinus Hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty
Wertebereich  - \infty < f(x) < + \infty  1 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x ≤ 0 streng monoton fallend
x ≥ 0 streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
 a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}  a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}
 a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x}  a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x}
Nullstellen  x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 0
Wendestellen  x = 0 keine

Spezielle Werte[Bearbeiten]

\sinh(\ln\Phi) = \tfrac12 mit dem goldenen Schnitt \Phi

Uneigentliches Integral[Bearbeiten]

Für den Kosinus Hyperbolicus gilt insbesondere:

 \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{\cosh x} = \pi.

Umkehrfunktionen[Bearbeiten]

Der Sinus Hyperbolicus bildet \mathbb{R} bijektiv auf \mathbb{R} ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus Hyperbolicus nennt.

Der Kosinus Hyperbolicus bildet das Intervall [0,+\infty[ bijektiv auf das Intervall [1,+\infty[ und lässt sich eingeschränkt auf [0,+\infty[ also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus Hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ .
\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ .

Ableitungen[Bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:


\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x  & = \cosh x\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x  & = \sinh x
\end{align}

Stammfunktionen[Bearbeiten]


\begin{align}
\int \sinh x \, dx &= \cosh x + C\\
\int \cosh x \, dx &= \sinh x + C
\end{align}

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)[Bearbeiten]

\cosh^2 x \!\; - \sinh^2 x = 1
\cosh x \,\; + \sinh x \,\,= e^{x} (Eulersche Identität)
\cosh({\rm arsinh}(x)) = \sqrt{x^2 + 1}
\sinh({\rm arcosh}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} (Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme[Bearbeiten]


\begin{align}
\sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\
\cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y
\end{align}

insbesondere gilt für x = y:


\begin{align}
\sinh 2x &= 2\cdot\sinh x \cosh x\ \\
\cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cdot \cosh^2 x - 1 = 2\cdot \sinh^2 x + 1
\end{align}

Summenformeln[Bearbeiten]


\begin{align}
\sinh x \pm \sinh y & = 2 \sinh \frac{x\pm y}2 \cosh\frac{x\mp y}2 \\
\cosh x + \cosh y & = 2 \cosh \frac{x + y}2 \cosh\frac{x-y}2 \\
\cosh x - \cosh y & = 2 \sinh \frac{x + y}2 \sinh\frac{x-y}2
\end{align}

Reihenentwicklungen[Bearbeiten]

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\begin{align}
\sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \dotsb\\
\cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsb
\end{align}

Produktentwicklungen[Bearbeiten]


\begin{align}
&\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right)
\qquad\qquad\quad\\
&\sinh \pi x = \pi x\cdot\prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{k^2}\right)\\
&\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)
\end{align}

Komplexe Argumente[Bearbeiten]

Mit x,y \in \mathbb{R} gilt:


\begin{align}
\sinh(x+iy) &= \cos y \cdot \sinh x + i \cdot \sin y \cdot \cosh x\\
\cosh(x+iy) &= \cos y \cdot \cosh x + i \cdot \sin y \cdot \sinh x\\
\sin(x+iy) &= \sin x \cdot \cosh y + i \cdot \cos x \cdot \sinh y\\
\cos(x+iy) &= \cos x \cdot \cosh y - i \cdot \sin x \cdot \sinh y\\
\end{align}

Begründung für die Änderung:


\begin{align}

z=(x+i \cdot y) \\
\exp(iz) &= \cos(x+iy) + i \cdot \sin(x+iy)\\
&= \exp(i \cdot (x+i \cdot y))\\
&= \exp(i \cdot x) \cdot \exp(i \cdot (i \cdot y))\\
&=(\cos(x) \cos(iy)- \sin(x) \sin(iy))+i \cdot ( \cos(x) \sin(iy) + \sin(x) \cos(iy) )\\
&=(\cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y))+i \cdot ( \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) )\\

\end{align}

Durch Koeffizientenvergleich folgt:


\begin{align}

\cos(x+iy) = \cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y) \\
\sin(x+iy) = \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) \\

\end{align}

Bemerkung:

Ohne die Änderung des Vorzeichens wäre 
\begin{align}

\cos(z) \\

\end{align}
nicht analytisch, was die Funktion bekanntlich aber ist. Das kann man mit den Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen überprüfen.

Anwendungen[Bearbeiten]

Lösung einer Differentialgleichung[Bearbeiten]

Die Funktion

f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x) mit  a,b \in \mathbb{R}

löst die Differentialgleichung

f''(x) - f(x) = 0\ .

Kettenlinie[Bearbeiten]

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Rapidität \lambda kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):


L = \begin{pmatrix}
 \cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\
-\sinh \lambda &  \cosh \lambda & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie[Bearbeiten]

Der Sinus Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch a(t) = \left(\sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}} \sinh(t/t_{ch})\right)^{2/3}, wobei t_{ch} = \frac{2}{3 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0} eine charakteristische Zeitskala ist (H_0 ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, \Omega_{\Lambda,0} der Dichteparameter für die Dunkle Energie; die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen). Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus Hyperbolicus auf: \Omega_M(t) = \cosh^{-2}(t/t_{ch}) .

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.