Kosmische Geschwindigkeiten

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Als kosmische Geschwindigkeiten werden Geschwindigkeitswerte bezeichnet, die in der Himmelsmechanik eine besondere Bedeutung haben. Im einfachsten Fall wird die Geschwindigkeit beschrieben, die zum Erreichen eines stabilen Orbits um einen Zentralkörper notwendig ist.

Erste kosmische Geschwindigkeit oder Kreisbahngeschwindigkeit[Bearbeiten]

Ein Satellit mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit beschreibt eine Kreisbahn entlang der Oberfläche eines Himmelskörpers (z.B. Erde), analog zur Bahn C. Gegenüber Bahn C bewirkt eine größere Geschwindigkeit die ellipsenförmige Bahn D. Bei Erreichen der 2. kosmischen Geschwindigkeit entfernt sich der Flugkörper auf der Parabelbahn E.

Wenn sich ein Körper antriebslos auf einer Kreisbahn um das Zentrum eines Planeten (oder anderen Himmelskörpers) herum bewegt, verursacht die Gravitation des Planeten die Zentripetalbeschleunigung

\frac{v^2}{r} = \frac{G M}{r^2}.

Dabei ist G die Gravitationskonstante, r der Abstand zwischen dem Flugkörper und dem Zentrum des Planeten, M die Masse des Planeten und v die Geschwindigkeit des Flugkörpers auf der Kreisbahn. Die Kreisbahngeschwindigkeit ergibt sich durch Umstellen der obigen Gleichung zu

v = \sqrt{\frac{G M}{r}}.

Die erste kosmische Geschwindigkeit v_1 ist diejenige Kreisbahngeschwindigkeit, die es einem Körper erlaubt, direkt an der Oberfläche eines Planeten um diesen herum zu kreisen. Anschaulich ausgedrückt ist sie diejenige Geschwindigkeit, mit der eine waagrecht geschossene Kanonenkugel die Erde umrunden würde, ohne den Boden zu berühren. Da der Abstand zum Zentrum des Planeten in diesem Fall dem Radius R des Planeten entspricht, wird r = R gesetzt.

v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}.

Die erste kosmische Geschwindigkeit für die Erde beträgt etwa 7,91 km/s (28476 km/h). Für den Mond beträgt sie 1,68 km/s (6048 km/h). Die Umlaufperiode auf dieser Kreisbahn entspricht der Schuler-Periode.

Für jede Kreisbewegung in einer bestimmten Höhe ist die Kreisbahngeschwindigkeit stets geringer als v_1. Erdsatelliten haben eine Bahnhöhe von mindestens 150 km über der Erdoberfläche, da Reibung mit der oberen Erdatmosphäre die Satelliten sonst zu stark abbremst. In 150 km Höhe beträgt die notwendige Bahngeschwindigkeit der Satelliten 7,815 km/s.

Ein Teil der erforderlichen Kreisgeschwindigkeit wird beim Start von der Erde aus bereits von der Erdrotation aufgebracht, abhängig von der geographischen Breite des Startorts und der Startrichtung. Im Idealfall (Start am Äquator in Richtung Osten) beträgt dieser Beitrag etwa 460 m/s.

Zweite kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit[Bearbeiten]

Beispiele: Einige Fluchtgeschwindigkeiten
Himmels-
körper
Fluchtgeschwindigkeit am Äquator
in m/s in km/s in km/h
Merkur 4.300 4,3 15.480
Venus 10.200 10,2 36.720
Erde 11.200 11,2 40.320
Mond 2.300 2,3 8.280
Mars 5.000 5,0 18.000
Jupiter 59.600 59,6 214.560
Saturn 35.500 35,5 127.800
Uranus 21.300 21,3 76.680
Neptun 23.300 23,3 83.880
Pluto 1.100 1,1 3.960
Sonne 617.300 617,3 2.222.280

Die zweite kosmische Geschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit für eine offene, nicht zurückkehrende Bahn. Bei dieser Geschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gleich seiner Bindungsenergie im Gravitationsfeld. Auf der Oberfläche eines kugelförmigen Himmelskörpers ist damit

\frac{1}{2} m v_2^2 \geq \frac{G M m}{R}.

Umstellen nach v_2 ergibt

v_2 \geq \sqrt{\frac {2 G M}{R}} = \sqrt{2gR} ,

wobei g = \frac{G M}{R^2} die Schwerebeschleunigung des Himmelskörpers ist. Die Fluchtgeschwindigkeit ist um den Faktor \sqrt{2} größer als die erste kosmische Geschwindigkeit. Bei konstanter mittlerer Dichte skaliert die Fluchtgeschwindigkeit linear mit R. Nebenstehende Tabelle enthält Beispiele.

Geometrische Bedeutung[Bearbeiten]

Wenn ein Flugkörper, der sich auf einer Kreisbahn um einen Planeten befindet, einen Geschwindigkeitsschub in Flugrichtung erhält, so verformt sich seine Flugbahn zu einer Ellipse. Wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, steigt die Exzentrizität der Ellipse an. Das geht so lange, bis der ferne Punkt der Ellipse unendlich weit weg ist. Ab dieser Geschwindigkeit ist der Körper nicht mehr auf einer geschlossenen Bahn, sondern die Ellipse öffnet sich zu einer Parabelbahn. Dies geschieht genau dann, wenn der Flugkörper die zweite kosmische Geschwindigkeit erreicht.

Während sich der Körper von dem Planeten entfernt, wird er von dessen Gravitation weiterhin abgebremst, sodass er erst in unendlicher Entfernung zum Stillstand kommt. Wird hingegen die zweite kosmische Geschwindigkeit überschritten, so nimmt die Flugbahn die Form eines Hyperbel-Asts an - in diesem Fall bleibt im Unendlichen eine Geschwindigkeit übrig, die als hyperbolische Exzessgeschwindigkeit oder hyperbolische Überschussgeschwindigkeit bezeichnet wird und die Energie der Hyperbelbahn charakterisiert. Sie berechnet sich aus der Summe der Energien, also der Quadrate der Geschwindigkeiten, analog zur Berechnung im Folgeabschnitt. Ebenfalls üblich ist die Angabe des Quadrates der Geschwindigkeit (also Energie pro Masse), häufig mit dem Formelzeichen c3.

Fluchtgeschwindigkeit in der Raumfahrt[Bearbeiten]

Interplanetare Raumsonden befinden sich häufig zuerst auf einer Erdumlaufbahn (Parkbahn), bevor die Triebwerke erneut gezündet werden und den Flugkörper auf die erforderliche Geschwindigkeit oberhalb der Fluchtgeschwindigkeit (s.u.) beschleunigen. Hierbei leistet die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne bei entsprechender Wahl der Flugbahn bereits einen großen Beitrag zur notwendigen Endgeschwindigkeit.

Für Flugbahnen zum Mond muss die Fluchtgeschwindigkeit nicht vollständig erreicht werden, vielmehr muss die maximale Entfernung des Flugkörpers zur Erde der Distanz Erde–Mond entsprechen. Die tatsächliche Flugbahn ist durch den Einfluss des Mondes (eingeschränktes Dreikörperproblem) nicht algebraisch berechenbar.

Schwarze Löcher[Bearbeiten]

Im Extremfall entspricht die Fluchtgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit c, sodass ab einem bestimmten Abstand nicht einmal Licht das Gravitationsfeld verlassen kann. Dies ist der Fall bei einem Schwarzen Loch (einer Vorstellung, die erstmals 1796 von Pierre Simon Laplace untersucht wurde). Hier ist

c = \sqrt{\frac {2 G M}{R}},

was für den kritischen Radius

R = r_s = \frac {2 G M}{c^2}

ergibt und als Schwarzschildradius bezeichnet wird. Damit lässt sich die Fluchtgeschwindigkeit auch schreiben als

v_2 = c \sqrt{\frac {r_s}{R}}.

Mit dieser Formel zeigt sich, dass die Fluchtgeschwindigkeit vom Verhältnis des Radius zum Schwarzschildradius abhängt. Wird der Radius kleiner und nähert sich dem Schwarzschildradius an, so steigt die Fluchtgeschwindigkeit, werden die beiden Radien gleich, erreicht sie die Lichtgeschwindigkeit. Dies geschieht etwa beim Kollaps eines Neutronensterns zu einem schwarzen Loch.

Dritte kosmische Geschwindigkeit[Bearbeiten]

Die dritte kosmische Geschwindigkeit ist die Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne, berechnet von der Erdbahn aus. Dazu verwendet man wieder die Formel für die 2. kosmische Geschwindigkeit, wobei nun die Sonnenmasse und der Abstand Erde-Sonne eingesetzt werden.

Dies ergibt v3=42,1 km/s.

Die obige Fluchtgeschwindigkeit gilt nur für einen Körper, der sich im Abstand der Erde von der Sonne wegbewegt. Wenn aber eine Rakete von der Erde startet und das Sonnensystem verlassen soll, muss sie das gemeinsame Gravitationsfeld von Erde und Sonne überwinden. Für den Start von der Erde kann man sich die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne zu Nutze machen, da diese bereits 29,8 km/s beträgt. Somit ist bei einer Abschussrichtung tangential zur Erdbahn nur eine Geschwindigkeit von Δv = 42,1 km/s - 29,8 km/s = 12,3 km/s relativ zur Erde notwendig, um das Gravitationsfeld der Sonne allein zu verlassen. Dann braucht der Körper zusätzlich noch die Fluchtgeschwindigkeit der Erde.

Für die notwendige Geschwindigkeit v_3 ergibt sich damit insgesamt

v_3 = \sqrt{\Delta v^2+v_2^2} = 16{,}5\,\mathrm{km/s}.

Nicht berücksichtigt ist hier die Rotationsgeschwindigkeit der Erde. Diese kann man sich ebenfalls zunutze machen und ist der Grund, warum viele Raumhäfen möglichst nahe am Äquator liegen. Dort nämlich ist die Rotationsgeschwindigkeit der Erde am größten.

Vierte kosmische Geschwindigkeit[Bearbeiten]

Die vierte kosmische Geschwindigkeit ist schließlich nötig, um auch die Milchstraße zu verlassen. Aus der Angabe, dass die Sonne für einen Umlauf um das galaktische Zentrum im Abstand von 28.000 Lichtjahren 230 Millionen Jahre benötigt, ergibt sich aus dem dritten keplerschen Gesetz für die innere Masse der Galaxie M = 2 \cdot 10^{41} \text{ kg},[1] womit die Fluchtgeschwindigkeit von der ruhenden Sonne aus ca. 320 km/s[2] beträgt. Nutzt man die Umlaufgeschwindigkeit der Sonne um die Galaxis, die bei 220 km/s liegt, reduziert sich die vierte kosmische Geschwindigkeit auf ca. 100 km/s.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wolfram|Alpha: Berechnung der Masse der Galaxis
  2. Wolfram|Alpha: Berechnung der vierten kosmischen Geschwindigkeit für die Erde