Krümmungskreis

Krümmungskreis einer Kurve C im Punkt P

Der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis genannt) zu einem bestimmten Punkt $P = \left( x_0 | y_0 \right)$ einer ebenen Kurve C ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Kehrwert der Krümmung der Kurve in $\left( x_0 | y_0 \right)$. Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich die Kurve im Allgemeinen nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung an den Krümmungskreis an.

Hinweis: Die Beispielzeichnungen legen nahe, dass der Krümmungskreis stets auf einer Seite der Kurve liegt. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Krümmung der Kurve an dem entsprechenden Punkt ein Extremum hat. Da die Krümmung des Krümmungskreises selbst konstant ist, verläuft eine Kurve mit sich ändernder Krümmung in der Regel auf einer Seite des Berührpunktes innerhalb, auf der anderen außerhalb ihres Krümmungskreises.

Bestimmung des Krümmungskreises

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zustreben:

t₁, t₂,... sind die Tangenten, n₁, n₂,... sind die Normalen in den Punkten P₁, P₂,... Die Punkte P₁, P₂,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K₁, K₂,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung $\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}\,$ gegeben, so ist sein Radius, der Krümmungsradius, gegeben durch

(1) $\displaystyle r = \left| \frac{\Big( x_1'(t)^2+x_2'(t)^2 \Big)^{\frac{3}{2}}}{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)} \right|$.

Der Mittelpunkt $K = (K_x | K_y)$ des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

$\vec x(t)\,+ \, r \cdot || \vec x'(t)||^{-1} \begin{pmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{pmatrix}\,$

also

(2) $\displaystyle K_x = x_1(t) - \frac{x_2'(t) \cdot \Big(x_1'(t)^2+x_2'(t)^2\Big)}{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)}$ und

(3) $\displaystyle K_y = x_2(t) + \frac{x_1'(t) \cdot \Big(x_1'(t)^2+x_2'(t)^2\Big)}{x_1'(t) \cdot x_2''(t) - x_1''(t) \cdot x_2'(t)}$.

Der Weg, den die Krümmungskreismittelpunkte beschreiben, bezeichnet man als Evolute der Kurve.

Krümmungsradius eines Funktionsgraphen

Auch für den Graphen einer Funktion $f$ lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Unter der Krümmung der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ versteht man die Krümmung des Graphen der Funktion im Punkte $\Big(x_0 | f(x_0) \Big)$. Mit der Transformation $x \rightarrow t$ und $f(x) \rightarrow f(t)$ wird die Funktion $f$ in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

$\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} t \\ f(t) \end{pmatrix}\,$

Die Ableitungen lauten:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} t = 1$;   $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} t = 0$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t) = f'(t)$;   $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}f= f''(t)$

Damit gilt für den Krümmungsradius einer Funktion an der Stelle $x_0$ der Funktion $f$ nach Einsetzen in (1):

(4) $r(x_0) = \left| \frac{\big(1+f'(x_0)^2 \big)^{\frac{3}{2}}}{f''(x_0)} \right|$

Beispiele

Kreis

Animation der Krümmung bei einem Kreis vom Radius 2, im Uhrzeigersinn durchlaufen

Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

$\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}$

Die Ableitungen betragen:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \cos(t) = -\sin(t)$;   $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} \cos(t) = -\cos(t)$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \sin(t) = \cos(t)$;   $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} \sin(t) = -\sin(t)$

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von Eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

Die nebenstehende Animation zeigt den Kreis vom Radius 2, mit konstanter Geschwindigkeit 1 im Uhrzeigersinn durchlaufen. Er hat Parameterdarstellung

$\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} 2\cdot\cos(t/2) \\ 2\cdot\sin(-t/2) \end{pmatrix}$

und konstante Krümmung gleich $\tfrac{1}{2}$. Sein Krümmungsradius ist konstant gleich 2, das heißt gleich seinem Radius. (Der "Beschleunigungsvektor" in dieser Animation ist die zweite Ableitung $\tfrac{\mathrm{d}^2\vec{x}}{\mathrm{d}t^2}$.)

Parabel

Der Krümmungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunkt hat den Radius 0,5

Für die Normalparabel $f(x) = x^2$ gilt:

$f '(x)=2\cdot x$

$f ''(x)=2$

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

$r(x)= \left| \frac{ \left(1+4\cdot x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{2} \right|$

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x³, die Kurve wird immer gerader.

Lissajous-Kurve

Animation des Krümmungs- kreises bei einer Lissajous-Kurve

Die Parameterdarstellung einer Lissajous-Kurve mit Frequenzverhältnis 2:3 lautet

$\vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} \cos(3t) \\ \sin(2t) \end{pmatrix}$

Die ersten Ableitungen betragen:

$\frac{\mathrm d\vec x(t)}{\mathrm dt}\,= \, \begin{pmatrix} -3\sin(3t) \\ 2\cos(2t) \end{pmatrix}\,$

Die zweiten Ableitungen betragen:

$\frac{\mathrm d^2\vec x(t)}{\mathrm dt^2}\,= \, \begin{pmatrix} -9\cos(3t) \\ -4\sin(2t) \end{pmatrix}\,$

Setzt man dies in (1) ein und benutzt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, so folgt für den Krümmungsradius dieser Lissajous-Kurve:

$r(t)\,=\,\frac{(232\cos(t)^4-97\cos(t)^2+13-144\cos(t)^6)^{3/2}}{6\cos(t)(8\cos(t)^4-10\cos(t)^2+5)}\,\,.$

Die Abbildung zeigt eine Animation des Krümmungskreises. Der „Beschleunigungsvektor“ in dieser Abbildung ist die zweite Ableitung $\tfrac{\mathrm{d}^2\vec{x}}{\mathrm{d}s^2}$ von $\vec{x}$ nach der Bogenlänge $s$.

Siehe auch

• Klothoide, Krümmungsradius ist umgekehrt proportional zur Kurvenlänge

Weblinks

 Commons: Grafische Illustrationen des Krümmungskreises von Kurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Animierte Illustrationen des Krümmungskreises selbst erstellen (Maple-Worksheet)
• Krümmungsradius und Krümmungskreis, allgemeine Darstellung mit Animation einer Bewegung eines Punktes