Kranzprodukt

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Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

Definition[Bearbeiten]

Sind G und J Gruppen und operiert J auf einer Menge Y, so wird dadurch eine Operation von J auf G^Y (der Gruppe aller Abbildungen von Y nach G mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

\forall j\in J, f\in G^Y: (^jf)(y)=f(^{j^{-1}}y)

Jedes j\in J definiert auf diese Weise einen Automorphismus von G^Y.

Somit kann das Kranzprodukt G \wr_Y J als das semidirekte Produkt aus G^Y und J bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von Y nach G nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: \left|G \wr_Y J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot\left|J\right|

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt G \wr_J J definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge \{1,...,n\} festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operationen[Bearbeiten]

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von G \wr_Y J auf X\times Y induziert:

\forall (x,y)\in X\times Y, (f,j)\in G \wr_Y J: ^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^jy)}x,^jy)

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Gruppenerweiterungen[Bearbeiten]

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

1\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota}\ \, H \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi}\ \, Q \longrightarrow 1

Außerdem sei eine Abbildung q:H\to H gegeben, die \forall g\in H:q(g)\iota(N)=g\iota(N) erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten \forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}. (Ist N unendlich, so ist eine solchen Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung \phi:H\hookrightarrow N\wr_Q Q (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

\phi(h):=(\sigma_h,\pi(h))\,

Hierbei ist \sigma_h:Q\to N wie folgt definiert:

\sigma_h(yN):=\iota^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.[1]

Beispiele[Bearbeiten]

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe S_n lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch W_{p,0}:=\{1\} und W_{p,n+1}:=W_{p,n} \wr_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Z}_p, wobei die Operation von J=\mathbb{Z}_p auf Y=\mathbb{Z}_p durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe \sum_{i=0}^{k}{c_ip^i} mit c_i\in\{0,...,p-1\}, so sind die p-Sylow-Gruppen von S_n dann isomorph zu \prod_{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_i}}

Zum Symbol[Bearbeiten]

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240[2], in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

Quellen[Bearbeiten]

  1. "Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes", L. Kaloujnine, M. Krasner - I, Acta Sci. Math. Szeged, 1950
  2. Unicode Character 'WREATH PRODUCT' (U+2240), fileformat.info