Kreisfrequenz

Physikalische Größe
Name	Kreisfrequenz
Formelzeichen der Größe	$\omega$
Abgeleitet von	Frequenz
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI rad·s−1 T−1

Die Kreisfrequenz ist eine physikalische Größe der Schwingungslehre. Als Formelzeichen wird der griechische Kleinbuchstabe Omega $\omega$ verwendet. Der Zusammenhang der Kreisfrequenz mit der Periodendauer $T$ und der Frequenz $f$ einer Schwingung ist gegeben durch:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

Die Kreisfrequenz kann auch durch die Änderungsrate des Phasenwinkels $\varphi \,$ beschrieben werden:

$\omega = \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}$

Verwendung in der Schwingungslehre

Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene (am Beispiel einer Wechselspannung $\underline{u}$) mit dem zeitabhängigen Argument $\varphi=\omega t + \varphi_0$.

Eine harmonische Schwingung lässt sich allgemein als Funktion der Kreisfrequenz $\omega \,$ beschreiben:

$x(t) = x_o \ \sin(\omega t + \varphi_0)$

Sie kann, wie in der Elektrotechnik üblich, durch den Real- und Imaginärteil eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden komplexen Zeigers $\underline x$ in der gaußschen Zahlenebene als Funktion der Kreisfrequenz dargestellt werden. Der Winkel $\varphi = \omega t + \varphi_0$ des komplexen Zeigers wird dabei als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet.

$\underline x(t) = x_o \ e^{i (\omega t + \varphi_0)} = x_o \ (\cos(\omega t + \varphi_0) + i \sin(\omega t + \varphi_0))$

Der Zusammenhang mit Sinus und Kosinus ergibt sich aus der Eulerschen Formel.

Kennkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz

Schwingfähige Systeme werden durch die Kennkreisfrequenz und die Eigenkreisfrequenz beschrieben. Ein ungedämpftes frei schwingendes System schwingt mit seiner Kennkreisfrequenz $\omega_0$, ein gedämpftes System ohne äußere Anregung schwingt mit seiner Eigenkreisfrequenz $\omega_d$. Die Eigenkreisfrequenz eines gedämpften Systems ist stets kleiner als die Kennkreisfrequenz. Die Kennkreisfrequenz wird in der Mechanik auch als ungedämpfte Eigenkreisfrequenz bezeichnet.

Für das Beispiel eines elektrischen Schwingkreises gilt mit dem Widerstand $R$, der Induktivität $L$ und der Kapazität $C$ für die Kennkreisfrequenz:

$\omega_0 = \frac{ 1} {\sqrt {LC}}$

Für ein Federpendel mit der Federsteifigkeit $c$, der Masse $m$ und der Dämpfungskonstanten $d$ gilt für die Kennkreisfrequenz:

$\omega_0 = \sqrt {\frac c m}$

und mit der Abklingkonstante $\delta = R /{(2L)}$ bzw. $\delta = d /{(2m)}$ für die Eigenkreisfrequenz:

$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$.

Weitere Beispiele siehe Torsionspendel, Wasserpendel, Fadenpendel.

komplexe Kreisfrequenz

Aus der komplexen Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung

$\underline{x}(t) = x_0 \ e^{i \omega t}$

ergibt sich mit dem üblichen Ansatz

$\underline{x}(t) = x_0 \ e^{s t}$

die Verallgemeinerung zur komplexen Kreisfrequenz $s = \sigma + i\omega$ mit dem Realteil $\sigma$ und der Kreisfrequenz $\omega$. Durch die komplexe Kreisfrequenz $s$ kann nicht nur eine konstante harmonische Schwingung mit $\sigma = 0$ dargestellt werden, sondern auch eine gedämpfte Schwingung mit $\sigma < 0$ und eine angeregte Schwingung mit $\sigma > 0$.

Eine gedämpfte Schwingung kann wie folgt mit der konstanten komplexen Kreisfrequenz s als komplexer Zeiger dargestellt werden:

$\underline{x}(t) = x_o \ e^{s t} = x_o \ e^{(\sigma + i\omega_d)t} = x_o \ e^{\sigma t} e^{i\omega_d t} = x_o \ e^{\sigma t}(cos(\omega_d t) + i \sin(\omega_d t))$

Dabei ist $\omega_d$ die Eigenkreisfrequenz des schwingfähigen Systems und $\sigma$ ist gleich dem negativen Wert der Abklingkonstante: $\sigma = - \delta$ (siehe dazu den vorhergehenden Abschnitt).

Bei der Laplacetransformation hat die komplexe Kreisfrequenz $s = \sigma + i\omega$ eine allgemeinere Bedeutung als Variable im Bildbereich der Transformation $F(s)$ zur Darstellung beliebiger Zeitfunktionen und Übertragungsfunktionen in der komplexen Frequenzebene („s-Ebene“).