Kreistangente

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Tangente eines Kreises ist jede in der gleichen Ebene verlaufende Gerade, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat.

SekTangPass.svg

Die in der Kreisebene verlaufenden Geraden lassen sich einteilen in Sekanten, Tangenten und Passanten. Die Tangenten stellen dabei in gewisser Weise den Grenzfall dar zwischen Sekanten und Passanten.

Eine Grundeigenschaft der Tangente ist es, dass sie im rechten Winkel zu ihrem Berührungsradius verläuft, also zur Verbindungslinie zwischen dem Berührpunkt und dem Kreismittelpunkt. Umgekehrt ist jede Gerade, die im Endpunkt eines Radius senkrecht auf diesem steht, auch eine Tangente des Kreises. Dies hängt damit zusammen, dass die Gerade, zu der der Radius gehört (wie jede Gerade durch den Mittelpunkt) Symmetrieachse des Kreises ist.

Konstruktion der Tangente[Bearbeiten]

Für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal reicht es keinesfalls aus, nach Augenmaß eine Gerade zu finden, die den Kreis k „gerade noch“ berührt.

  • Wenn der Berührpunkt gegeben ist (oder beliebig gewählt werden darf), so ist zuerst der Berührungsradius einzuzeichnen und dann das Lot dazu im Berührpunkt.
  • Wenn ein Punkt P außerhalb des Kreises gegeben ist, durch den die Tangente gehen soll, so muss zunächst der Berührpunkt gefunden werden. Da hierbei ein rechter Winkel entstehen muss, hilft der Satz des Thales:
    Man verbindet den Punkt P mit dem Kreismittelpunkt M und zeichnet über der Strecke [PM] den Thaleskreis. Dieser schneidet den Kreis k in zwei Punkten, die als Berührpunkte geeignet sind. Man erhält also durch den Punkt P zwei mögliche Kreistangenten. Die durch die beiden Berührpunkte bestimmte Gerade heißt Polare des Punktes P bezüglich des Kreises k.
TangenteKonstruktion.png

Analytische Geometrie[Bearbeiten]

Ist ein Kreis k mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(x_M|y_M) gegeben durch die Gleichung

| \overrightarrow{MB} | \, = \, r \, oder \, (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 \, = \, r^2,

und ist der Berührpunkt B=B(x_B|y_B) \in k,

so lautet die Gleichung der Tangente

\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MX} \, = \, r^2

bzw. (x_B-x_M) \cdot (x-x_M) + (y_B-y_M) \cdot (y-y_M) \, = \, r^2

(X(x,y)) steht dabei für einen beliebigen Punkt der Tangente.

Siehe auch[Bearbeiten]

Tangente, Tangentenviereck, Sekanten-Tangenten-Satz, Tangens