Kreuzkorrelation

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In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion  R_{xy}(\tau) zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale  x(t) und  y(t) bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen \tau zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Es gilt:

R_{xy}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt

In Kurzschreibweise wird für die Kreuzkorrelation das Operatorsymbol \star verwendet:

(x \star y)(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t) \, y(t + \tau)\,dt

mit x^* als die konjugiert komplexe Funktion von x. Die Kreuzkorrelation ist über folgenden Zusammenhang ident mit der Faltungsoperation, dargestellt durch den Faltungsoperator *:

(x \star y)(\tau) = x^*(-\tau) * y(\tau)

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der digitalen Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge [m] und einer Verschiebung n festgelegt als:

(x \star y)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x^*[m]\ y[n+m]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.
R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)\; \forall \tau

und

\left| R_{xy} \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))

sowie

\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0\;

mit den Autokorrelationsfunktionen R_{xx}(\tau)\; und R_{yy}(\tau)\; und der betrachteten Zeitfensterlänge T_F\ .

Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals x(t) zum Messort des Signals y(t) entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums  S_{XY}(f) ermittelt:

 R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XY}(f) \, e^{\mathrm{i} 2 \pi f \tau} \,\mathrm df

Literatur[Bearbeiten]

  •  Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

Weblinks[Bearbeiten]