Kriterium von Dirichlet

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Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz[Bearbeiten]

Kriterium[Bearbeiten]

Die Reihe

\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k b_k

mit a_k , b_k \in \mathbb{R} konvergiert, wenn (a_k)_{k\in \N} eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge (B_n)_{n\in\N} der Partialsummen

B_n =\sum\limits_{k=0}^{n} b_k

beschränkt ist.[1]

Beweis[Bearbeiten]

Es gilt (siehe Partielle Summation)

\sum\limits_{k=0}^n a_k b_k = a_{n+1} B_n + \sum\limits_{k=0}^n B_k (a_k - a_{k+1}).

Der erste Summand konvergiert gegen null, da B_n voraussetzungsgemäß durch eine Konstante M beschränkt ist und a_n gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn a_k - a_{k+1} \geq 0 für alle k und damit

\sum\limits_{k=0}^n \left|B_k (a_k - a_{k+1})\right| \leq \sum\limits_{k=0}^n M(a_k - a_{k+1}) = M(a_0 - a_{n+1}) \rightarrow Ma_0.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz[Bearbeiten]

Die Reihe

\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x) b_k(x)

ist im Intervall J gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe \textstyle \sum b_k(x) gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge (a_k(x)) gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste x monoton.[2]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, IV, Satz 33.14, S. 208/643 S.
  2.  Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1996 (1964), ISBN 3-540-59111-7, S. 342 ff./604 S.