Kronecker-Symbol

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Dieser Artikel beschreibt das Kronecker-Symbol im Kontext quadratischer Reste in der Zahlentheorie. Für das Delta-Symbol \delta_{ij} von Kronecker siehe Kronecker-Delta.

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols (n/m) auf beliebige ganzzahlige m. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt. Oft wird auch das Kronecker-Delta als Kronecker-Symbol bezeichnet.

Für ungerade m stimmt es mit dem Jacobi-Symbol überein, für m = -1 und m = 2 sind spezielle Werte definiert, alle anderen Werte ergeben sich durch die Rechenregel.

\left(\frac{ab}{cd}\right) =
 \left(\frac{a}{c}\right)
 \left(\frac{b}{c}\right)
 \left(\frac{a}{d}\right)
 \left(\frac{b}{d}\right)

Für m = -1 setzt man

\left(\frac{n}{-1}\right) =
\left\{\begin{matrix}
 -1 & \mbox{falls } n < 0 \\
  0 & \mbox{falls } n = 0 \\
  1 & \mbox{falls } n > 0
\end{matrix}\right.

und für m = 2 definiert man

\left(\frac{n}{2}\right) =
\left\{\begin{matrix}
  0 & \mbox{falls } n \equiv 0 \pmod{2} \\
  1 & \mbox{falls } n \equiv 1{,}7 \pmod{8} \\
  -1 & \mbox{falls } n \equiv 3{,}5 \pmod{8}
\end{matrix}\right.

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