Kroneckersches Lemma

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Kroneckersche Lemma handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Es ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker.

Lemma[Bearbeiten]

Sei (a_k)_{k\in\mathbb{N}} eine Folge reeller Zahlen.

Sei (b_k)_{k\in\mathbb{N}} eine monotone, unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen.

Falls \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{b_k} konvergiert, so folgt \frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n}a_k \to 0.

Folgerung[Bearbeiten]

Obiges Lemma vereinfacht sich beim Setzen von b_k=k für alle k\in\mathbb{N} zu folgender Aussage:

Sei (a_k)_{k\in\mathbb{N}} eine Folge reeller Zahlen.

Falls \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k} konvergiert, so folgt \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k \to 0.

Anwendung[Bearbeiten]

Das Kroneckersche Lemma kann man zum Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwenden.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 9783519123958. Seiten 190 und 194
  • Acta Mathematica Hungarica, Volume 44, Numbers 1-2, März 1984, Seiten 143 und 144