Kuboktaeder

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Kuboktaeder

Das Kuboktaeder (auch Kubooktaeder oder Kubo-Oktaeder) ist ein Polyeder mit 14 Seiten (sechs Quadrate und acht regelmäßige Dreiecke), zwölf identischen Ecken und 24 identischen Kanten.

Aufgrund seiner Regelmäßigkeit zählt das Kuboktaeder zu den 13 Archimedischen Körpern. Neben dem Ikosidodekaeder ist es der einzige konvexe quasireguläre Körper. Das Kuboktaeder ist das einzige Polyeder, bei dem der Eckenradius immer der Kantenlänge entspricht.

Sein Dualkörper ist das Rhombendodekaeder.

Mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

Symmetrie[Bearbeiten]

rotierendes Kuboktaeder

Mit 12 Ecken, 14 Flächen und 24 Kanten wird der eulersche Polyedersatz erfüllt:

e + f - k = 2

Hinsichtlich seiner symmetrischen Eigenschaften lässt sich das Kuboktaeder als flächenquasiregulärer konvexer Polyeder einordnen:[1]

  • Alle Flächen sind regulär. Da das Kuboktaeder über Quadrate und Dreiecke verfügt, sind die Flächen aber nicht homogen, weshalb es auch keine Inkugel hat. Diese Bedingung wird nur von den Platonischen und den Catalanischen Körpern erfüllt.
  • Alle Kanten sind symmetrieäquivalent, da sich an jeder Kante genau ein Quadrat und ein Dreieck berühren. Abgesehen vom Ikosidodekaeder erfüllt kein anderer Archimedischer Körper diese Bedingung. Das Kuboktaeder besitzt eine Kantenkugel.
  • Alle Ecken sind symmetrieäquivalent, da an jeder Ecke jeweils zwei Dreiecke und zwei Quadrate aufeinandertreffen. Daher verfügt das Kuboktaeder über eine Umkugel.

Netz[Bearbeiten]

Kuboktaeder-Netz

Das Netz des Kuboktaeders wird wie folgt konstruiert:[2] Ausgehend von einem Quadrat wird an jeder seiner Kanten jeweils ein gleichseitiges Dreiecke angelegt. Zu jedem Dreieck kommt ein Quadrat und an dessen gegenüberliegende Seite wieder ein Dreieck. Abschließend wird noch ein einziges Quadrat an ein beliebiges Dreieck angelegt.

Orthogonale Projektion[Bearbeiten]

Die vier Sechsecke im Kuboktaeder

Für das Kuboktaeder existieren vier spezielle orthogonale Projektionen: für beide Flächentypen, für die Kante und für die Ecke. Jeweils sechs Kanten des Kuboktaeders bilden die Kanten eines regelmäßigen Sechsecks. Insgesamt gibt es vier solcher Sechsecke, welche keine Symmetrieebenen des Kuboktaeders sind, sondern Fixebenen von Drehspiegelsymmetrien.[3]

Ecke Kante Fläche: Dreieck Fläche: Quadrat
Cube t1 v.png Cube t1 e.png 3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg

Kugelpackung[Bearbeiten]

Kugelpackung des Kuboktaeders

Bei der zweidimensionalen Kusszahl werden an einen Kreis sechs gleich große Kreise angelegt. Auf der dreidimensionalen Ebene werden an eine Kugel zwölf gleich große Kugeln angelegt.

Die zweidimensionale Kusszahl findet sich beim Kuboktaeder wieder: An einem seiner Sechsecke lassen sich sechs Kugeln um eine Ursprungskugel herum so anordnen, dass ihre Mittelpunkte den Ecken des Polyeders entsprechen. Geht man auf die dreidimensionale Ebene, lassen sich zusätzlich oberhalb und unterhalb je drei weitere Kugeln an die Ursprungskugel anlegen, wobei deren Mittelpunkte wieder auf die Ecken des Kuboktaeders fallen.

Das Kuboktaeder hat somit die dichteste Kugelpackung aller Körper.[4] Dies gilt allerdings auch für das nicht reguläre Antikuboktaeder, bei dem sich die sechs oben und unten angelegten Kugeln vertikal übereinander befinden und nicht versetzt wie beim Kuboktaeder.

Formeln[Bearbeiten]

Größen eines Kuboktaeders mit Kantenlänge a
Volumen V = \frac{5}{3}\,a^3 \sqrt{2}
Oberflächeninhalt A_O = 2a^2 (3+\sqrt{3})
Umkugelradius \,R = a
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \sqrt{3}
Flächenwinkel
 (Quadrat–Trigon)
 ≈ 125° 15' 52"
 \cos \, \alpha = -\frac{1}{3}\sqrt{3}
3D-Kantenwinkel
 = 120°
 \cos \, \gamma = -\frac{1}{2}
Eckenraumwinkel
 ≈ 0,7837 π
 \cos\,\Omega = -\frac{7}{9}

Geometrische Verwandtschaft[Bearbeiten]

Würfel und Oktaeder[Bearbeiten]

Durchdringung von Würfel und Oktaeder

Das Kuboktaeder lässt sich als Ableitung zweier Platonischer Körper ansehen: Durchdringen sich ein Würfel (Kubus) und ein Oktaeder, entsteht als Schnittmenge (Kern) ein Kuboktaeder.[5] Sein Name ist als Kofferwort von diesen beiden Körpern abgeleitet. Auch die alte Bezeichnung Mittelkristall bezieht sich auf seine Rolle als Zwischenform.[6] Die Flächen eines Würfels (sechs Quadrate) und eines Oktaeders (acht Dreiecke) bilden die insgesamt 14 Flächen des Kuboktaeders.

Durch Abstumpfung der Ecken lässt sich ein Kuboktaeder jeweils aus beiden Grundkörpern erzeugen: Stumpft man die Ecken eines Würfels bis zum Mittelpunkt seiner Kanten ab, verkleinern sich einerseits seine sechs Quadrate; andererseits bilden sich an den bisherigen Ecken acht Dreiecke. Durch Abstumpfung der Ecken eines Oktaeders bis zur Kantenmitte werden seine acht Dreiecke stark verkleinert und die bisherigen Ecken zu sechs Quadraten.

Bei der Erzeugung eines Kuboktaeders durch Abstumpfung von Würfel oder Oktaeder entstehen zwei Zwischenformen: Werden beide Grundkörper nicht bis zur Kantenmitte, sondern nur teilweise abgestumpft, lassen sich die beiden Archimedischen Körper Hexaederstumpf beziehungsweise Oktaederstumpf erschaffen.

Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg
Würfel Hexaederstumpf Kuboktaeder Oktaederstumpf Oktaeder
→ → Abstumpfung → → ← ← Abstumpfung ← ←

Tetraeder[Bearbeiten]

Auch aus einem weiteren Platonischen Körper lässt sich das Kuboktaeder ableiten: Wird ein Tetraeder entlang seiner sechs Kanten ausgedehnt, entstehen sechs Vierecke. An den bisherigen Ecken des Tetraeders bilden sich vier Dreiecke, zusätzlich zu den vier ursprünglich bestehenden. Führt man diesen Prozess weiter, bis die Vierecke quadratisch sind, erhält man ein Kuboktaeder. Alternativ kann dieser Vorgang als Abstumpfung der Kanten eines Tetraeders gedacht werden.

Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t02.png
Tetraeder Kuboktaeder
→ → Ausdehnung → →

Ikosaeder[Bearbeiten]

Das Kuboktaeder ist auch selbst eine Ausgangsform für die Ableitung anderer Polyeder. Alle Platonischen und Archimedischen Körper lassen sich entweder aus Kuboktaeder, Ikosidodekaeder oder Tetratetraeder (Oktaeder) durch Verdrehung (Torsion) ableiten. Bei diesen drei Polyedern handelt es sich um die möglichen Durchdringungskörper der Platonischen Körper.

Durch Verdrehung eines Kuboktaeders lässt sich mit dem Ikosaeder ein Platonischer Körper herstellen:[7] Die Dreiecke des Kuboktaeders bleiben dabei unverändert. Durch eine Verzerrung der Quadrate entstehen sechs Rhomben. Diese werden durch neue Kanten geteilt, so dass insgesamt zwölf regelmäßige Dreiecke entstehen, zusätzlich zu den ursprünglichen acht des Kuboktaeders. Der neue Körper hat somit 20 Dreiecke und ist ein Ikosaeder.

Cuboctahedron.png Torsioned icosahedron.png
Kuboktaeder Ikosaeder
→ → Verdrehung → →

Kuboktaederstumpf[Bearbeiten]

Der Kuboktaederstumpf ist ein Archimedischer Körper, lässt sich aber nicht durch Abstumpfen aus einem Kuboktaeder herstellen[8], wie der Name suggeriert und was fälschlicherweise gelegentlich angenommen wird. Dass es nicht so ist, lässt sich leicht an der Art der an den Ecken des Kuboktaeders zusammenstoßenden Flächen erkennen. Auf den Dreiecken bilden je zwei von einer Ecke ausgehende Kanten einen Winkel von 60°, aber auf den Quadraten sind es 90°. Durch Abstumpfen würde jede Ecke zu einem Rechteck anstatt zu einem Quadrat werden, denn die Hypotenuse in einem gleichschenkligen Dreieck ist unter einem 90°-Gegenwinkel länger als unter einem 60°-Gegenwinkel.

Gleichwohl ist dieses abgestumpfte Kuboktaeder topologisch gleichwertig zum Kuboktaederstumpf, da es dieselbe Anzahl Flächen, Kanten und Ecken aufweist.

Cuboctahedron.png Truncated-cuboctahedron.png
Kuboktaeder Kuboktaederstumpf

Rhombendodekaeder[Bearbeiten]

Der zum Kuboktaeder duale Körper ist das Rhombendodekaeder. Dieses weist zwölf Flächen und 14 Ecken auf, also das umgekehrte Verhältnis wie beim Kuboktaeder. Wie bei allen Archimedischen Körpern ist der Dualkörper ein Catalanischer Körper. Während das Kuboktaeder die Schnittmenge bei der Durchdringung von Würfel und Oktaeder bildet, ist das Rhombendodekaeder dazu der Hüllkörper.

Rhombicdodecahedron.jpg
Rhombendodekaeder

Stellare Kuboktaeder[Bearbeiten]

Es existieren vier verschiedene Sternformen zum Kuboktaeder. Der erste stellare Körper ist dabei identisch mit der Durchdringung von Würfel und Oktaeder.

Zeroth stellation of cuboctahedron.png First stellation of cuboctahedron.png Second stellation of cuboctahedron.png Third stellation of cuboctahedron.png Fourth stellation of cuboctahedron.png
Kuboktaeder Erster Stern Zweiter Stern Dritter Stern Vierter Stern
→ → Erweiterung → →

Nicht-konvexe Polyeder[Bearbeiten]

Zwei nicht-konvexe Körper teilen sich die Position der Kanten und Ecken mit dem Kuboktaeder: Beim Kubohemioktaeder bestehen nur die Quadrate, beim Oktahemioktaeder nur die Dreiecke. Die übrigen Flächen werden durch die vier Sechsecke innerhalb des Kuboktaeder eingenommen.[9] Das Kuboktaeder ist die konvexe Hülle der beiden anderen Körper.[10]

Cubohemioctahedron.png Cuboctahedron.png Octahemioctahedron.png
Kubohemioktaeder Kuboktaeder Oktahemioktaeder
← ← Entflächung → →

Johnsonkörper[Bearbeiten]

Wird ein Kuboktaeder anlang eines seiner Sechsecke durchschnitten, entstehen zwei Dreieckskuppeln, der Johnson-Körper J3.[5] Alternativ kann man sich das Kuboktaeder auch aus sechs Quadratpyramiden (J1) und acht Tetraedern zusammengesetzt vorstellen.

Square pyramid.png Triangular cupola.png
Quadratpyramide Dreieckskuppel

Geschichte[Bearbeiten]

Als einziger der Archimedischen Körper soll das Kuboktaeder schon Platon bekannt gewesen sein.[11]

Bezug zur physischen Welt[Bearbeiten]

Chemie[Bearbeiten]

Stark vergrößerte Darstellung eines Kuboktaeder-Kristalls

Die kristalline Struktur synthetischer Diamanten basiert idealerweise auf dem Würfel oder dem Oktaeder – meist aber auf dem Kuboktaeder.[12] Oft sind diese Körper nicht regelmäßig, sondern nur Annäherungsformen. Natürliche Diamanten weisen meist eine oktaedrische kristalline Struktur auf.[13] Das Kuboktaeder ist der Kristall des Minerals Argentit (Ag2S).[14]

Jitterbug-Transformation[Bearbeiten]

Zum Kubokateder geöffnetes Polyeder auf der Heureka

In Buckminster Fullers sogenannter Jitterbug-Transformation ist das Kuboktaeder mit 24 Kanten das ausgedehnteste Stadium. Durch Verdrehen entsteht ein Ikosaeder, wobei sechs seiner 30 Kanten nur virtuell existieren. Nach weiterem Verdrehen stoßen die Kanten paarweise zusammen, wodurch sich ein Oktaeder ergibt. Durch ein nochmaliges Verdrehen entsteht ein Tetraeder, wobei je vier Kanten zusammengefallen sind. Dieser lässt sich schließlich in ein ebenes Dreieck zusammenklappen, bei dem je acht Kanten zusammenfallen.[15]

Wird ein Flächen-Modell des Oktaeders der Jitterbug-Transformation unterworfen, so lässt sich dieses über das Ikosaeder zum noch größeren Kuboktaeder umwandeln.[16] Auf der Forschungsausstellung Heureka in Zürich 1991 wurde am begehbaren Heureka-Polyeder diese Transformation gezeigt. Während der Veränderung wurden die Besucher im Inneren auf einer Hebebühne synchron mit auf- und abbewegt.

Oktaeder-Kuboktaeder.jpg Oktaeder-Ikosaeder.jpg Oktaeder-Oktaeder.jpg
Kuboktaeder Ikosaeder Oktaeder
→ → Verdrehung → →

Kunst[Bearbeiten]

Zeichnung von Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci fertigte für Luca Paciolis De divina proportione (1509) Zeichnungen mehrerer Polyeder an, darunter auch des Kuboktaeders.

In M. C. Eschers Holzstich Sterne (1948) erscheint unten links ein kleines Kuboktaeder neben zahlreichen anderen Polyedern.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Renatus Ziegler, Platonische Körper, Dornach 2008, S. 94 f.
  2. Tiberiu Roman, Reguläre und halbreguläre Polyeder, Berlin 1968, S.65
  3. Hans Walser, Steckmodelle, in: Der Mathematikunterricht, Band 55 (2009), S. 40.
  4. Kugelpackung des Kuboktaeders bei der TU Dresden (PDF; 128 kB)
  5. a b Kuboktaeder auf Mathematische Basteleien
  6. Meyers Großes Konversations-Lexikon (1908)
  7. Ueli Wittorf: Einfache und doppelte Torsionspolyeder, in: Renatus Ziegler, Platonische Körper, Dornach 2008, S. 32–45.
  8. Johannes Kepler: Weltharmonik, München 1939 (Ausgabe in deutscher Übersetzung), S. 82
  9. Claus Michael Ringel über das Oktahemioktaeder
  10. MathWorld zum Oktahemioktaeder
  11. A.R.Rajwade, Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem, New Delhi 2001, S. 40.
  12. Amanda S. Barnard, The diamond formula: diamond synthesis – a gemmological perspective, Woburn 2000, S. 67 ff.
  13. Kristalline Struktur von Diamanten auf 1-Cultured-Diamonds
  14. Hugo Steinhaus, Mathematical Snapshots, Oxford 1950, S. 203.
  15. Demonstration der Jitterbug-Transformation zwischen Dreieck und Kuboktaeder [1]
  16. Demonstration der Jitterbug-Transformation zwischen Oktaeder und Kuboktaeder [2]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Kuboktaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Kuboktaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen