Kugelausschnitt

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Kugelausschnitt

Ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor bezeichnet in der Mathematik einen kegelartigen Ausschnitt vom Zentrum einer Kugel bis zu ihrer Oberfläche.

Herleitung des Volumens[Bearbeiten]

Für das Volumen V eines Kugelausschnitts gilt

V = \frac{2 \pi r^2 h}{3}\,,

wobei r den Radius der Kugel und h die Höhe des zugehörigen Kugelabschnitts bezeichnet.

Zur Herleitung dieser Formel nimmt man eine Unterteilung in zwei Körper vor: Kegel und Kugelabschnitt.

I) Volumen des Kegels[Bearbeiten]

Kegel.PNG

Der Kegel kann als ein Rotationskörper mit der Randfunktion y = \frac {R}{r-h}x = \frac {\sqrt{2rh-h^2}}{r-h}x betrachtet werden.

Den Term für R erhält man über den Kathetensatz. Das Volumen eines Rotationskörpers ist V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \mathrm dx

Setzt man nun die Gleichung für die Randfunktion und die Integrationsgrenzen ein und löst auf, erhält man das Volumen des Rotationskörpers.

V_1 = \pi \int_{0}^{r-h} \left( \frac{\sqrt{2rh-h^2}}{r-h}x\right) ^2 \mathrm dx

V_1 = \pi \int_{0}^{r-h} \frac{2rh-h^2}{(r-h)^2}x^2 \mathrm dx

V_1 = \pi \frac{2rh-h^2}{(r-h)^2} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{r-h}

V_1 = \pi \frac{2rh-h^2}{(r-h)^2} \frac{1}{3}(r-h)^3

V_1 = \frac{\pi}{3}(2rh-h^2)(r-h)

Man kann sich von der Richtigkeit der Formel leicht überzeugen, indem man mit der Formel für das Volumen des Kegels vergleicht, wobei 2rh-h^2 dem dortigen Radius ins Quadrat r^2 entspricht und r-h der Höhe h.

II) Volumen des Kugelabschnittes[Bearbeiten]

KAbschnitt.PNG

Kreisgleichung.PNG

Auch der Kugelabschnitt wird als Rotationskörper betrachtet. Die Randfunktion erhält man entweder, indem man Kreisgleichung y^2 = r^2-x^2 auf unseren Fall anwendet:

\begin{align} y^2 = r^2-(r-x)^2 = r^2 -(r^2-2rx+x^2) = 2rx-x^2 \end{align}

\begin{align}y = \sqrt{ 2rx-x^2 }\end{align}

oder die oben bereits benutzte Herleitung über den Kathetensatz benutzt: R=\sqrt{2rh-h^2}, wobei das h mit der Veränderlichen x ersetzt wird.

Nun wird wieder in die Gleichung des Rotationsvolumens eingesetzt und aufgelöst:

V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \mathrm dx

V_2 = \pi \int_{0}^{h} 2rx-x^2 \mathrm dx

V_2 = \pi \left[ rx^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{h}

V_2 = \pi \left( rh^2-\frac{1}{3}h^3\right)

V_2 = \frac{\pi}{3} \left( 3rh^2-h^3\right)

III) Zusammenfassung beider Volumina[Bearbeiten]

V= V_1 + V_2 =\frac{\pi}{3}(2rh-h^2)(r-h) + \frac{\pi}{3} \left( 3rh^2-h^3\right)

V= \frac{\pi}{3}(2r^2h-2rh^2-h^2r+h^3) + \frac{\pi}{3} \left( 3rh^2-h^3\right)

V= \frac{\pi}{3}(2r^2h-2rh^2-rh^2+h^3+3rh^2-h^3)

V= \frac{\pi}{3}(2r^2h)

V= \frac{2 \pi r^2 h}{3}

Ähnliche Körper[Bearbeiten]

siehe Kugel#Kugelschnitte

Weblinks[Bearbeiten]