Kugelausschnitt

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Kugelsektor (blau)

Ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor bezeichnet in der Mathematik einen kegelartigen Ausschnitt vom Zentrum einer Kugel bis zu ihrer Oberfläche.

Für das Volumen V eines Kugelausschnitts gilt

  • V = \frac{2 \pi r^2 h}{3}\,,

wobei r den Radius der Kugel und a,h Grundkreisradius und Höhe des zugehörigen Kugelsegments bezeichnen. Die Oberfläche ist

  • O=\pi r(a+2h) \ .

Herleitung der Formeln[Bearbeiten]

Zur Herleitung dieser Formel nimmt man eine Unterteilung in zwei Körper vor: Kegel und Kugelsegment. Der Kegel hat den Grundkreisradius a und die Höhe r-h.

Volumen[Bearbeiten]

Das Volumen des Kegels ist

V_K=\frac{\pi}{3} a^2 (r-h).

Das Kugelsegment hat das Volumen

V_S=\frac{\pi}{3} h^2(3r-h)

Also ist das Volumen des Kugelsektors:

V=V_K+V_S= \frac{\pi}{3} a^2 (r-h)+\frac{\pi}{3} h^2(3r-h)

Aus dem Pythagoras ergibt sich a^2=2hr-h^2. Einsetzen und Auflösen der Klammern liefert schließlich V=\tfrac{2 \pi r^2 h}{3}\,,.

Eine weitere Möglichkeit das Volumen zu berechnen bieten Kugelkoordinaten: V = \int_0^{\theta_0} \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^r\! \rho^2 \sin{\theta} \, \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\phi \,\mathrm{d}\theta = \frac{2 \pi r^3}{3}\int_0^{\theta_0} \! \sin{\theta} \, \mathrm{d}\theta = \frac{2 \pi r^3}{3}(1-\cos\theta_0)

Wobei \theta_0 der halbe Öffnungswinkel des Kegelteiles ist. Mit h=r(1-\cos\theta_0) folgt die obige Formel für das Volumen.

Oberfläche[Bearbeiten]

Die Mantelfläche des Kegels ist

M_K=\pi ar \ , und die Oberfläche des Kugelsegments (ohne Basiskreis) ist
M_S =2\pi rh.

Damit ist die Oberfläche

O=M_K+M_S =\pi r(a+2h)\ .

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.