Kugelflächenfunktionen

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Darstellung der ersten Kugelflächenfunktionen. Die Farben geben das Vorzeichen der Kugelflächenfunktion an (rot entspricht positiv, grün entspricht negativ)
Veranschaulichung einiger Kugelflächenfunktionen (um die z-Achse rotierend). Dargestellt ist Y_{l,m}, wobei l der Zeile und m der Spalte entspricht. Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert.

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:

\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}+\frac{1}{\sin^{2}\vartheta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen Y_{lm}(\vartheta,\varphi), dabei sind N_{lm} Normierungsfaktoren und P_{lm}(z) die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):

Y_{lm}:\;\left[0,\pi\right]\times\left[0,2\pi\right]\rightarrow\mathbb{C},\quad(\vartheta,\varphi)\mapsto\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, N_{lm}\, P_{lm}(\cos\vartheta)\, e^{im\varphi} \quad \text{mit}\quad N_{lm} := \sqrt{\tfrac{2l+1}{2}\,\tfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}

Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet.

Zusammenhang mit dem Laplace-Operator[Bearbeiten]

Der Winkelanteil des Laplace-Operators zeigt sich, wenn dieser in Kugelkoordinaten geschrieben wird:

\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}+\frac{1}{\sin^{2}\vartheta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)=\Delta_{r}+\frac{1}{r^{2}}\Delta_{\vartheta,\varphi}

Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil \Delta_{\vartheta,\varphi} bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators \hat{\mathbf{L}}^2=-\hbar^{2} \Delta_{\vartheta,\varphi}.

Die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten


\Delta f(r,\vartheta,\varphi)\ = 0

hat neben der trivialen Lösung, f=0, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.

Zur Lösung wird folgender Produktansatz verwendet, wobei R_{l}(r) nur vom Radius und Y_{lm}(\vartheta,\varphi) nur von Polar- und Azimutwinkel abhängt:

f(r,\vartheta,\varphi) = R_{l}(r) Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Dies ergibt eingesetzt:

\Delta R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=Y_{lm}(\vartheta,\varphi)\Delta_{r}R_{l}(r)+\frac{R_{l}(r)}{r^{2}}\Delta_{\vartheta,\varphi}Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=0

Multiplikation von r^2 und Division durch R_{l}(r) Y_{lm}(\vartheta,\varphi) liefert:

\frac{r^{2}\Delta_{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}+\frac{\Delta_{\vartheta,\varphi}Y_{lm}(\vartheta,\varphi)}{Y_{lm}(\vartheta,\varphi)}=0

Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu l(l+1) gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):

\frac{r^{2}\Delta_{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}=l(l+1)=-\frac{\Delta_{\vartheta,\varphi}Y_{lm}(\vartheta,\varphi)}{Y_{lm}(\vartheta,\varphi)}

Durch dieses Verfahren, welches Separationsansatz genannt wird, wurde also das ursprüngliche Problem, nämlich die Lösung der Laplace-Gleichung (partielle Differentialgleichung mit drei unabhängigen Variablen), auf das einfachere Problem der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Radialgleichung)

\Delta_{r}R_{l}(r)=\frac{l(l+1)}{r^{2}}R_{l}(r)

und einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen (winkelabhängige Gleichung), die gerade von den Kugelflächenfunktionen erfüllt wird, reduziert.

\Delta_{\vartheta,\varphi}Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:

f(r,\vartheta,\varphi)\ = \sum_{l,m}R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung.

Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) und Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen mit mehreren Veränderlichen) behandelt.

Lösung der Eigenwertgleichung[Bearbeiten]

Die Eigenwertgleichung

\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}+\frac{1}{\sin^{2}\vartheta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

wird mit folgendem Produktansatz separiert:

Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=\Theta_{lm}(\vartheta)\Phi_{m}(\varphi)

Umsortieren liefert:

\underbrace{\frac{\sin^{2}\vartheta}{\Theta_{lm}(\vartheta)}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\Theta_{lm}(\vartheta)+\sin^{2}(\vartheta)(l(l+1))}_{m^{2}}=\underbrace{-\frac{1}{\Phi_{m}(\varphi)}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\Phi_{m}(\varphi)}_{m^{2}}

Um beide Seite getrennt voneinander variieren zu können, müssen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen. Diese Separationskonstante wird als m^2 gewählt. Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Polargleichung

\frac{1}{\Theta_{lm}(\vartheta)}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\Theta_{lm}(\vartheta)=\frac{m^{2}}{\sin^{2}\vartheta}-l(l+1)

und die Azimutalgleichung.

\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\Phi_{m}(\varphi)=-m^{2}\Phi_{m}(\varphi)

Die Azimutalgleichung wird durch \Phi_{m}(\varphi)=A\exp(im\varphi) gelöst, wobei die m wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberfläche \Phi_{m}(\varphi+2\pi)=\Phi_{m}(\varphi) eingeschränkt sind auf ganze Zahlen \exp(im2\pi)=1. Mit \int_{0}^{2\pi}|\Phi_{m}(\varphi)|^{2}\mathrm{d}\varphi=1 erhält man die normierte Lösung der Azimutalgleichung:

\Phi_{m}(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(im\varphi),\quad m\in\mathbb{Z}

Die Polargleichung kann mit einem Potenzreihenansatz gelöst werden. Die Lösungen sind nur dann endlich, eindeutig und stetig, wenn

l\in\mathbb{N}_{0},\quad|m|\leq l.

Dann sind die Lösungen die zugeordneten Legendrepolynome P_{lm}(\cos\vartheta) und mit \int_{0}^{\pi}|\Theta_{lm}(\vartheta)|^{2}\sin(\vartheta)\mathrm{d}\vartheta=1 erhält man die normierte Lösung der Polargleichung:

\Theta_{lm}(\vartheta)= \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,\, P_{lm}(\cos\vartheta)

Die Gesamtlösung des Winkelanteils ist das Produkt aus den beiden erhaltenen Lösungen, nämlich die Kugelflächenfunktionen.

Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=\Theta_{lm}(\vartheta)\Phi_{m}(\varphi)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,\, P_{lm}(\cos\vartheta) \exp(im\varphi)

Darstellung[Bearbeiten]

3D Plot der Kugelflächenfunktionen (hier n statt l und \theta statt \vartheta) Y_{nm}(\theta,\varphi)\propto P_{nm}(\cos\theta)\exp(i m \varphi) für Grad n=5

Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen Y_{lm}: S^2\rightarrow \mathbb C ergibt sich als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung liefert:

Y_{lm}(\vartheta,\varphi) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}N_{lm} P_{lm}(\cos \vartheta)e^{im \varphi}

Dabei sind

P_{lm} (x):=\frac{(-1)^m}{2^ll!}(1-x^2)^{\frac m2} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l

die zugeordneten Legendrepolynome und

N_{lm} := \sqrt{\frac{2l+1}{2}\cdot\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}

sind Normierungsfaktoren. Mitunter ist die Berechnung über:

P_{lm} (x)=(1-x^2)^{\frac{\left|m\right|}{2}} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\left|m\right|} P_l(x)

mit

P_l (x)=\frac {1}{2^l}\sum_{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor} (-1)^k \frac{(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!} x^{l-2k}

vorteilhafter (\lfloor l/2\rfloor:={\mathrm{abrunden}}(l/2)), da l-faches Ableiten entfällt.

Eine andere Definition geht über homogene, harmonische Polynome. Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit  r^n schreiben und umgekehrt. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von  r^n die Funktionen

1 \frac{}{}
 \cos{\varphi} \sin \vartheta = \Re{(e^{i\varphi})} \sin \vartheta ,
\sin \varphi \sin \vartheta = \Im{(e^{i\varphi})} \sin \vartheta ,
\cos \vartheta \frac{}{}.

Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme  x^2-y^2, xy, x^2+y^2-2 z^2\frac{}{} wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Darstellung der Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:

\begin{align}
&\int Y_{lm}^{*}(\vartheta,\varphi) \, Y_{l'm'}(\vartheta,\varphi) d\Omega \\
&\quad = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} Y_{lm}^{*}(\vartheta,\varphi) \, Y_{l'm'}(\vartheta,\varphi)
\, \sin{\vartheta} \, d\vartheta \, d\varphi \\
&\quad = \delta_{l\,l'} \, \delta_{mm'}\\
\end{align}
\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ') \, Y_{lm}(\vartheta,\varphi) = \delta(\varphi-\varphi ')\delta(\cos{\vartheta} -\cos{\vartheta '})
  • Parität: Der Übergang \vec r \rightarrow -\vec r sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus:  (r,\vartheta,\varphi) \rightarrow (r,\pi-\vartheta,\pi+\varphi). Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:
Y_{lm}(\pi-\vartheta,\pi+\varphi)=(-1)^l\cdot Y_{lm}(\vartheta,\varphi)
  • Komplexe Konjugation: Die jeweiligen Y_{l,-m} erhält man aus den Y_{lm} durch:
Y_{l,-m}(\vartheta,\varphi)=(-1)^m\cdot Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen[Bearbeiten]

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen f(\vartheta,\varphi) (mit \vartheta und \varphi im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

f(\vartheta,\varphi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^{+l}c_{lm}Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Die Entwicklungskoeffizienten c_{lm} berechnen sich zu:

c_{lm}=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\vartheta=0}^\pi Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi)\cdot f(\vartheta,\varphi)\cdot\sin \vartheta \, d\vartheta \, d\varphi

Dabei ist Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi) das komplex-konjugierte zu Y_{lm}(\vartheta,\varphi). Die Darstellung einer Funktion f(x) mit \sin- und \cos-Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion f(\vartheta,\varphi) mit Y_{lm}(\vartheta,\varphi) auf einer Kugeloberfläche.

Additionstheorem[Bearbeiten]

Ein interessantes Resultat für die Kugelflächenfunktionen ist das Additionstheorem. Hierfür seien zwei Einheitsvektoren \mathbf{x} und \mathbf{x}' durch Kugelkoordinaten (\vartheta,\,\varphi) bzw. (\vartheta',\,\varphi') dargestellt. Für den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren \gamma gilt dann

\cos\gamma=\cos\vartheta\cos\vartheta' + \sin\vartheta\sin\vartheta'\cos(\varphi-\varphi')\,.

Das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen besagt nun

 P_l(\cos\gamma) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\vartheta,\varphi)Y_{lm}^*(\vartheta',\varphi').

Das Theorem kann auch anstelle der Kugelflächenfunktionen Y_{lm} mit den zugeordneten Legendrefunktionen P_{lm} geschrieben werden

 P_l(\cos\gamma) = P_l(\cos \vartheta) P_l(\cos \vartheta') + 2 \sum_{m=1}^l\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{lm}(\cos\vartheta)P_{lm}(\cos\vartheta')\cos(m(\varphi-\varphi')).

Für \gamma=0 erhält man aus dem Additionstheorem

\sum_{m=-l}^l|Y_{lm}(\vartheta,\varphi)|^2=\frac{2l+1}{4\pi}.

Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identität \cos^2\vartheta + \sin^2 \vartheta = 1 auf drei Dimensionen angesehen werden.

Die ersten Kugelflächenfunktionen[Bearbeiten]

Die ersten Kugelflächenfunktionen
Ylm l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
m = -3 \sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{-3i \varphi}
m = −2 \sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta} \, e^{-2i \varphi} \sqrt{\tfrac{105}{32\pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{-2i \varphi}
m = −1 \sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}}   \sin{\vartheta} \, e^{-i \varphi} \sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}}  \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{-i \varphi} \sqrt{\tfrac{21}{64 \pi}} \sin{\vartheta}\left( 5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{-i \varphi}
m = 0 \sqrt{\tfrac{1}{4 \pi}} \sqrt{\tfrac{3}{4 \pi}}   \cos{\vartheta} \sqrt{\tfrac{5}{16 \pi}}  \left( 3 \cos^{2}{\vartheta} - 1 \right) \sqrt{\tfrac{7}{16 \pi}}  \left( 5 \cos^{3}{\vartheta} - 3 \cos{\vartheta}\right)
m = 1 -\sqrt{\tfrac{3}{8 \pi}}  \sin{\vartheta} \, e^{i \varphi} -\sqrt{\tfrac{15}{8 \pi}} \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \, e^{i \varphi} -\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}} \sin{\vartheta}\left( 5 \cos^{2}{\vartheta} - 1\right)\,e^{i \varphi}
m = 2 \sqrt{\tfrac{15}{32 \pi}}  \sin^{2}{\vartheta} \, e^{2i \varphi} \sqrt{\tfrac{105}{32 \pi}} \sin^{2}{\vartheta}\cos{\vartheta}\,e^{2i \varphi}
m = 3 -\sqrt{\tfrac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\vartheta}\,e^{3i \varphi}

Anwendungen[Bearbeiten]

Quantenmechanik[Bearbeiten]

Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflächenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl l als Eigenwert. Daher spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen. Ferner ist

\hat{\mathbf{L}}^{2}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta,\varphi)
\hat{L}_{z}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar m Y_{l,m}(\theta,\varphi)

Lösung der Laplace-Gleichung[Bearbeiten]

Für jedes l ist die Funktion r^l Y^l_m(\theta,\varphi) Lösung der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen, denn die Funktion R(l)=r^l erfüllt gerade obige Gleichung

\Delta_{r}R_{l}(r)=\frac{l(l+1)}{r^{2}}R_{l}(r).

Jede Lösung der Laplace-Gleichung lässt sich nun eindeutig als

\sum_{l,m} c_{lm} r^l Y_{lm}

darstellen. Somit lässt sich mit den Kugelflächenfunktionen die Laplace-Gleichung mit sphärischen Dirichlet-Randbedingungen lösen: Legen die Randbedingungen den Wert der Lösung f, die auf der abgeschlossenen Einheitskugel definiert sein soll, auf eine bestimmte quadratintegrable Funktion f|_{S_2} auf der Einheitssphäre fest, so lässt sich f|_{S_2} nach Kugelflächenfunktionen entwickeln, wodurch sich die Koeffizienten c_{lm} und damit auf eindeutige Weise ganz f ergeben. Auf Grundlage dieser Erkenntnis der Lösbarkeit mit sphärischen Randbedingungen lässt sich die allgemeine Lösbarkeit des Dirchlet-Problems der Laplace-Gleichung für hinreichend glatte Randbedingungen zeigen, dieser Beweis geht auf Oskar Perron zurück.[1] Das Dirichlet-Problem findet Anwendung in der Elektrostatik und Magnetostatik. Zum Lösen der Laplace-Gleichung, bei der eine Funktion gesucht ist, die außerhalb einer Kugel definiert ist und im Unendlichen verschwindet, zu gegebenen Randbedingungen, ist der Ansatz einer Zerlegung

\sum_{l,m} c_{lm} r^{-l-1} Y_{lm}

möglich, der ebenfalls stets eine Lösung der Laplace-Gleichung zu den gegebenen Randbedingungen liefert.

Nomenklatur in der Geophysik[Bearbeiten]

Kugelflächenfunktion werden auch in der Geophysik verwendet. Man unterscheidet hier zwischen:

  • zonal (m=0): unabhängig von Längengrad \varphi
  • sektoriell (m=l):
Y_{ll}(\vartheta,\varphi) := \frac{(-1)}{l!}^l\sqrt{\frac{(2l+1)!}{4^{l+1}\pi}} \sin^l \vartheta e^{i l \varphi}
  • tesseral (sonst): längen- und breitengradabhängig

Literatur[Bearbeiten]

Kugelflächenfunktionen werden auch in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt, z.B.:

  • Arnold Sommerfeld Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik, Harri Deutsch 1992
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu und Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin – New York 1999, S. 649 ff.
  • Torsten Fließbach: Elektrodynamik. 4. Auflage, Spektrum, München 2005, S. 99 ff.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Oskar Perron: Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0. In: Mathematische Zeitschrift. Bd. 18, Nr. 1, Springer, Berlin, Heidelberg 1923, ISSN 0025-5874, S. 42–54, doi:10.1007/BF01192395.