Kugelschicht

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Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Vollkugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Das Volumen einer Kugelschicht ist

  •  V=\frac {\pi h}{6}( 3a_1^2+3a_2^2+h^2) ,

wobei a_1,a_2 die Radien der Begrenzungskreise (Basis- und Deckkreis) und h die Höhe der Schicht ist. Die Mantelfläche (Kugelzone) ist

  • M=2\pi r h

und die Oberfläche (incl. Boden- und Deckkreis)

  •  O=\pi(2rh+ a_1^2+a_2^2 ) .

Kennt man die Daten a_1,a_2,h der Kugelschicht, so lässt sich mit

  • r^2=a_1^2+\left (\frac{a_1^2-a_2^2-h^2}{2h}\right )^2

der Radius der Kugel berechnen.

Herleitung der Formeln[Bearbeiten]

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment \mathcal S_1 mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment \mathcal S_2 mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei h_1 die Höhe von \mathcal S_1 und h_2 die Höhe von \mathcal S_2.

Volumen[Bearbeiten]

Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind V_1=\frac{\pi h_1^2}{3}(3r-h_1), \ V_2=\frac{\pi h_2^2}{3}(3r-h_2) (siehe Kugelsegment). Also ist

V=V_1-V_2=\frac{\pi}{3}(3(h_1^2-h_2^2)r-(h_1^3-h_2^3)
=\frac{\pi}{3}(h_1-h_2)(3(h_1+h_2)r-(h_1^2+h_1h_2+h_2^2))

Mit den Beziehungen 2rh_1=a_1^2+h_1^2, \ 2rh_2=a_2^2+h_2^2, (siehe Kugelsegment) ergibt sich

 V=\frac{\pi}{3}(h_1-h_2)\left (\frac{3}{2}(a_1^2+h_1^2+a_2^2+h_2^2)-h_1^2-h_1h_2-h_2^2 \right)
 =\frac{\pi}{6}(h_1-h_2)(3(a_1^2+a_2^2) +(h_1-h_2)^2) .

Da h=h_1-h_2 ist, folgt die obige Formel:  V=\frac {\pi h}{6}( 3a_1^2+3a_2^2+h^2) .

Mantelfläche[Bearbeiten]

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

M=M_1-M_2=2\pi rh_1-2\pi r h_2=2\pi r(h_1-h_2)=2\pi rh.

Beziehung der Parameter[Bearbeiten]

Für den Beweis der Beziehung zwischen r,a_1,a_2,h sei d der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt M. Dann gilt

(1): \ r^2=d^2+a_1^2\quad (2): \ r^2=(d+h)^2+a_2^2.

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach d auf, so erhält man  d=\frac{a_1^2-a_2^2-h^2}{2h} und mit der Gleichung (1) folgt

r^2=a_1^2+\left (\frac{a_1^2-a_2^2-h^2}{2h}\right )^2.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • I. Bronstein u.a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
  • L. Kusch u.a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Weblinks[Bearbeiten]