Kugelsegment

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Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkörpers, der durch den Schnitt mit einer Ebene gebildet wird. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundfläche eine Kreisscheibe. Eine Halbkugel ist ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.[1]

Definitionen[Bearbeiten]

Schneidet man eine Kugel mit Radius r mit einer Ebene, so ist die Schnittfläche eine Kreisscheibe mit Radius a \leq r. Die beiden durch den Schnitt entstehenden Teilkörper der Kugel heißen Kugelabschnitte oder Kugelsegmente. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel mit der Höhe h < 2r und der Kreisscheibe als Grundfläche. Enthält die Schnittfläche den Mittelpunkt der Kugel, dann heißen die beiden entstehenden Kugelsegmente Halbkugeln. Bei ihnen gilt h=a=r.

Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.

Formeln[Bearbeiten]

Kugelsegment[Bearbeiten]

Das Volumen eines Kugelsegments beträgt

V_\mathrm{KS} = \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h) = \frac{h \pi}{6} (3a^2 + h^2).

Entsprechend ergibt sich die Oberfläche eines Kugelsegments (zur Herleitung siehe Kugelzone) zu

A_\mathrm{KS} = \pi (2rh+a^2).

Kugelkalotte[Bearbeiten]

Die Fläche einer Kugelkalotte (ohne die Fläche der abschließenden Kreisscheibe) beträgt

A_\mathrm{KK} = \pi r \cdot 2h.

Mit

r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 +h^2 -2rh +a^2

und damit

r = \frac {a^2 + h^2}{2h}

folgt

A_\mathrm{KK} = \pi \cdot (a^{2} + h^{2}).

Diese Formel fasst Johannes Kepler in die Worte „Die Oberfläche eines Kugelabschnitts ist einer Kreisfläche gleich, deren Radius der Abstand des Poles von einem Punkt des Grundkreises ist.“[2] Es gilt auch

h=r-r\cos{\frac \alpha 2},

wobei \alpha der Öffnungswinkel (Zentriwinkel) ist, woraus

A_\mathrm{KK} = 2 \pi r^2  \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)= 2 \pi r^2 \int_0^{\frac{\alpha}{2}} \sin(x)\mathrm dx

folgt. Eine Kugelkalotte ist damit durch zwei Größen bestimmt, aus denen sich die anderen Größen ableiten lassen:

a = r\sin(\alpha/2) = \sqrt{2rh - h^2}
h = r(1-\cos(\alpha/2)) = r - \sqrt{r^2 -a^2}.

Da eine Kugelkalotte ein Ausschnitt einer Kugeloberfläche ist, ist die gaußsche Krümmung dieser Fläche an allen Punkten positiv und gleich \tfrac{1}{r^2}.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Spherical caps – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie (2009)
  2. Vgl. J. Kepler: Neue Stereometrie der Fässer. Linz, 1615. Übersetzung aus dem Lateinischen von R. Klug, Leipzig, 1908 (dort Aussage Nr. 7 des Ersten Teils)