Kummertheorie

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Im mathematischem Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummertheorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion n-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von n sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummertheorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Kummererweiterungen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Sei n>1 eine natürliche Zahl. Eine Kummererweiterung ist eine Körpererweiterung L/K, für die gilt:

  • K enthält n verschiedene n-te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms X^n-1.
  • L/K hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten n. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente \sigma der Galoisgruppe \sigma^n=\operatorname{Id} gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ist n=2, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls K nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und -1. Kummererweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen L=K(\sqrt a), wobei a ein nichtquadratisches Element von K ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummererweiterungen für n=2 sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat K die Charakteristik 2, gibt es keine Kummererweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung -1=1 gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.
  • Für n=3 gibt es keine Kummererweiterungen der rationalen Zahlen \mathbb Q, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei a eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und L der Zerfällungskörper von X^3-a über \mathbb Q. Sind \alpha und \beta Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt (\alpha/\beta)^3=\alpha^3/\beta^3=a/a=1. Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich \alpha/\beta und \beta/\alpha, in L, sodass L einen Unterkörper K besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist L/K eine Kummererweiterung.
  • Enthält K allgemeiner n verschiedene n-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von K kein Teiler von n ist, so erhält man durch Adjunktion einer n-ten Wurzel eines Elements a von K zum Körper K eine Kummererweiterung. Ihr Grad m ist dabei ein Teiler von n. Als Zerfällungskörper des Polynoms X^n-a ist die Kummererweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung m.

Kummertheorie[Bearbeiten]

Die Kummertheorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist K ein Körper, der n verschiedene n-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von K vom Grad n durch das Ziehen einer n-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit K^\times die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers K, so stehen die zyklischen Erweiterungen von K vom Grad n, die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von K^\times/(K^\times)^n, also der Faktorgruppe von K^\times nach den n-ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe \Delta \subseteq  K^\times/(K^\times)^n wird die Erweiterung K(\Delta^{1/n}) zugeordnet, die durch Adjunktion aller n-ten Wurzeln von Elementen aus \Delta zu K entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung L/K die Untergruppe \Delta = K^\times \cap (L^\times)^n zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe \Delta und die Körpererweiterung L/K einander zu, so gibt es einen Isomorphismus \Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n), der gegeben ist durch a \mapsto (\sigma \mapsto \tfrac{\sigma(\alpha)}{\alpha}). Dabei steht \mu_n für die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln und \alpha für eine beliebige n-te Wurzel von a\in\Delta.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen \Delta\subseteq K^\times/(K^\times)^n und abelschen Erweiterungen vom Exponenten n. Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.[1]

In Charakteristik p>0 gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad p, die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten p^n stammt ebenfalls von Witt.[2] Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.

Fußnoten[Bearbeiten]

  1.  Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549-631. Die Originalarbeit von Witt ist:  Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 173, 1935, S. 34-51.
  2.  Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 176, 1936, S. 126-140.

Quellen[Bearbeiten]