Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei $M$ ein Modul über einem Ring $A$. Die Länge von $M$ ist das Supremum der Längen $n$ von Ketten von Untermoduln der Form

$0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq N_2\subsetneq\ldots\subsetneq N_n=M.$

Die Länge wird oft mit $\ell _A(M)$ oder $\ell (M)$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Nur der Nullmodul hat Länge 0.
• Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
• Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
• Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

exakt, so ist $\ell(M)=\ell(M')+\ell(M'')$; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

• Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele

• Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
• Der $\mathbb Z$-Modul $\mathbb Z$ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl $n$ ist

$0\subset 2^n\mathbb Z\subset 2^{n-1}\mathbb Z\subset\ldots\subset\mathbb Z$

eine Kette von Untermoduln der Länge $n+1$.