Lambertsche W-Funktion

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Der Graph von W(x) für -1/e\le x\le 4

In der Mathematik ist die lambertsche W-Funktion (oder Lambert-W-Funktion), benannt nach Johann Heinrich Lambert, die Umkehrfunktion von

f(x): = xex,

wobei ex die Exponentialfunktion ist. Die lambertsche W-Funktion, auch Omegafunktion genannt, wird meistens mit W(x) bezeichnet. Es gilt

z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Eigenschaften

Da die Funktion f auf dem Intervall \left(-\infty,0\right] nicht injektiv ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall \left[-\tfrac 1e,0\right) zwei Funktionsäste. Mit W(x) wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet. Die W-Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden. Zumeist wird sie in der Kombinatorik verwendet, z. B. zur Auswertung von Bäumen oder zur asymptotischen Bestimmung der Bell-Zahlen. Die Ableitungsfunktion der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden:

W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}.

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:

\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C.

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender Differentialgleichung genügt:

z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e.

Die Taylor-Reihe von W in x0 = 0 ist gegeben durch

W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.

Der Konvergenzradius beträgt \tfrac 1e.

[Bearbeiten] Spezielle Werte

W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2
W\left(-\frac 1e\right) = -1
W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2
W\left(0\right) = 0
W\left(1\right) = 0{,}5671432904... = \Omega (die Omega-Konstante, ((en)))
W\left(e\right) = 1

[Bearbeiten] Eigenschaften

  • \int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}
  • \int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}
  • \int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}

[Bearbeiten] Verwendung außerhalb der Kombinatorik

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus

a(x)ea(x) = y

zu lösen (a(x) ist ein beliebiger, von x abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung

xx = z

kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet

x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).

Der infinite (unendliche) Potenzturm

\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}

kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:

\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.

[Bearbeiten] Numerische Berechnung

Die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}

berechnet werden[1].

[Bearbeiten] Einzelnachweise

  1. ↑ Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996)
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion“
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