Lambertsche W-Funktion

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Der Graph von W(x) für W > −4 und x < 6. Der obere Zweig W ≥ −1 ist die Funktion W0 (principal branch), der untere Zweig mit W ≤ −1 ist die Funktion W−1.

In der Mathematik ist die lambertsche W-Funktion (oder Lambert-W-Funktion), auch Omegafunktion, benannt nach Johann Heinrich Lambert, die Umkehrfunktion von

f(x):= x e^x,\,

wobei e^x die Exponentialfunktion ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit W(x) bezeichnet. Es gilt

z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die zwei Funktionsäste W_0 und W_{-1}

Da die Funktion f auf dem Intervall \left(-\infty,0\right] nicht injektiv ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall \left[-\tfrac 1e,0\right) zwei Funktionsäste W_0(x) und W_{-1}(x). Mit W(x) wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der Kombinatorik verwendet, beispielsweise zur Auswertung von Bäumen oder zur asymptotischen Bestimmung der Bell-Zahlen.

Die Ableitungsfunktion eines Astes der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden (an der Stelle -1/e existiert die Ableitung nicht, ihr Betrag wächst bei hinreichender Annäherung an diese Stelle in jedem Ast über alle Schranken):

W'(x)=\lim_{\xi \to x} \frac{W(\xi)}{\xi (1+W(\xi))} \text{ für } x>-\frac {1}{e}

Insbesondere ergibt sich daraus W'_0(0)=1 für den oberen Ast (der untere Ast ist für x\ge 0 gar nicht definiert). An allen anderen Stellen des jeweiligen Definitionsbereiches braucht man nur \xi durch x und dann W(x) durch W_0(x) oder W_{-1}(x) zu ersetzen, um den Grenzübergang auszuführen und damit die Ableitung des jeweiligen Astes an einer Stelle x zu erhalten.

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form

\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),

wobei die P_n Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:

P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1

Ausgehend von P_1(t)=1 ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:

W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2)
W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9)
W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64)

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:

\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender Differentialgleichung genügt:

z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e

Die Taylor-Reihe von W in x_0=0 ist gegeben durch

W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.

Der Konvergenzradius beträgt \tfrac 1e.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2
W\left(-\frac 1e\right) = -1
W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2
W\left(0\right) = 0
W\left(1\right) = 0{,}5671432904\dots = \Omega   (die Omega-Konstante[1])
W\left(e\right) = 1

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • \int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}
  • \int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}
  • \int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}

Verwendung außerhalb der Kombinatorik[Bearbeiten]

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus

\, a(x)e^{a(x)}=y

zu lösen (a(x) ist ein beliebiger, von x abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung

\, x^x=z

kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet

x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).

Der infinite (unendliche) Potenzturm

\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}

kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:

\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in x) folgender Form ausdrücken:


e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)

wobei a0, c und r reelle Konstanten sind. Die Lösung ist  x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right). Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion[2][3][4] umfassen:


e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
Hierbei sind r1 und r2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments x, aber ri und a0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der hypergeometrischen Funktion und der Meijerschen G-Funktion, aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn r1 = r2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
  • Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) Wasserstoffmolekül-Ions.[6] Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in x:

e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
wobei ri und si unterschiedliche reelle Konstanten sind, und x ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands R. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse retardierter Differentialgleichungen. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.[7]

Numerische Berechnung[Bearbeiten]

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}

berechnet werden.[8] Alternativ kann auch das Newton-Verfahren zur Lösung der Gleichung w e^w - z = 0 verwendet werden:

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}.

Tabelle reeller Funktionswerte[Bearbeiten]

W_0, oberer Zweig:


\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
 x &  -0{,}3679  & -0{,}34 & -0{,}2& 0&0{,}3&0{,}7&1{,}2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\
\hline
 y & -1 & -0{,}6537 & -0{,}2592  & 0 & 0{,}2368 & 0{,}4475 & 0{,}6356 & 0{,}8526 & 1{,}0499 & 1{,}2022 & 1{,}4324 & 1{,}7455 & 2{,}205 & 2{,}6968 & +\infty \\
\end{array}

W_{-1}, unterer Zweig:


\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
 x &  -0{,}3679  & -0{,}365 & -0{,}355& -0{,}31& -0{,}25 & -0{,}18 & -0{,}1 & -0{,}05 & -0{,}025 & -0{,}01 & -0{,}005 & -0{,}001 & -0{,}0001&0\\
\hline
 y &-1  &-1{,}1307 & -1{,}2912 & -1{,}7044 & -2{,}1533 & -2{,}7128 & -3{,}5772 & -4{,}4998 & -5{,}3696 & -6{,}4728 & -7{,}284 & -9{,}118 & -11{,}6671&-\infty\\
\end{array}

Andere Werte lassen sich leicht über  x = y\, e^y berechnen.

Eine Näherung von W_0(x) für große x ist[9]

W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Omega constant in der englischsprachigen Wikipedia
  2. T.C. Scott, R.B. Mann: General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function. In: AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), 17 no. 1, April 2006. p.41–47. acm.org; Arxiv-Artikel
  3. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst: Asymptotic series of Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation). 47, Nr. 185, 2013, S. 75–83.
  4. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Zhang: Numerics of the Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM. 48, Nr. 188, 2014, S. 42–56.
  5. P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott: N-body Gravity and the Schrödinger Equation. In: Class. Quantum Grav. 24, 2007, p. 4647–4659. iop.org; Arxiv-Artikel
  6. T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion. In: Chem. Phys. 324: 2006. p.323–338. sciencedirect.com; Arxiv-Artikel
  7. T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J.D. Morgan III: The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions. In: Phys. Rev. A, 75:060101, 2007. scitation.aip.org
  8. Corless et al.: On the Lambert W function. (PDF; 311 kB) In: Adv. Computational Maths. 5, 1996, p. 329–359
  9. Eric Weisstein, "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html