Lambertsches Gesetz

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Dieser Artikel behandelt das Kosinusgesetz. Für das Gesetz zur konzentrationsabhängigen Absorption von Licht siehe Lambert-Beersches Gesetz.
Winkelabhängigkeit der Strahlstärke bei einem Lambert-Strahler.
\theta: Winkel zur Oberflächennormale;
I: Strahlstärke;
S: Quelle oder Reflexionsfläche

Das Lambertsche Gesetz (auch Lambertsches Kosinusgesetz) beschreibt, formuliert von Johann Heinrich Lambert, wie durch den perspektivischen Effekt die Strahlungsstärke mit flacher werdendem Abstrahlwinkel abnimmt. Wenn eine Fläche dem Lambertschen Gesetz folgt und die Strahldichte der Fläche konstant ist, so ergibt sich eine kreisförmige Verteilung der Strahlstärke.

Da der Mensch mit seinem Auge nur die Leuchtdichte bewertet (die Leuchtdichte ist die photometrische Entsprechung der Strahldichte), erscheint ein solches lambertsches Material unabhängig von der Betrachtungsrichtung als gleich hell. Gilt das Lambertsche Gesetz für jedes Oberflächenelement einer Lichtquelle, so bezeichnet man es als Lambert-Strahler. Insbesondere ein idealer schwarzer Körper ist ein Lambert-Strahler. Wird Licht von einer Fläche gemäß dem Lambertschen Gesetz reflektiert, dann spricht man von idealer diffuser Reflexion.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Sei \theta der Winkel gegen die Flächennormale und A die Größe des lambertschen Flächenelements, dann ist die Strahlungsstärke I(\theta) proportional zum Produkt aus Kosinus des Winkels und der Fläche:

I(\theta) \sim A\cos(\theta)

Das Verhältnis von Strahlungsstärke und reduzierter Fläche (in Betrachtungsrichtung projiziert), der Proportionalitätsfaktor, ist hierbei die konstante Leuchtdichte L der Fläche:

\frac{I(\theta)}{A \cos(\theta)} = L

Die gestrichelte Linie der Strahlungsstärke im Bild rechts genügt dabei der Gleichung x^2 + y^2 = y I_{max} (x-Achse horizontal, y-Achse vertikal).

Experiment[Bearbeiten]

Reflexionsverhalten von Papier. Erläuterung im Text

Die Bilder oben veranschaulichen die Aussage des Lambertschen Gesetzes an einem Experiment. Von links fällt jeweils in Höhe der roten Markierung am Bildrand ein Laserstrahl ein (im rechten Bild rot eingezeichnet) und trifft auf einen senkrecht zur Bildebene stehenden Papierstreifen (weiß eingezeichnet). Der Strahl verläuft flach über einem Schirm, der das vom Papier gestreute Licht (gelbe Pfeile) für die Kamera sichtbar macht. Im ersten Bild steht das Papier senkrecht zum Strahl; die Verteilung des Streulichts ist symmetrisch. Im zweiten Bild steht das Papier schräg; die Verteilung ist nahezu symmetrisch zum Lot auf das Papier; eine leichte Bevorzugung der Streuung in Reflexionsrichtung ist zu erkennen. Im dritten Bild handelt es sich um Transparentpapier, das fast so viel Licht durchlässt wie rückstreut; es liegt keine ausgeprägte Vielfachstreuung mehr vor, sodass die Abweichung vom Lambertschen Gesetz größer ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Es gibt in der Realität kein Material, das das Lambertsche Gesetz exakt erfüllt. Selbst Normale, die zur Kalibrierung von Messgeräten eingesetzt werden, zeigen Abweichungen von 0,1 % bis zu 2,5 %.[1] Es gibt allerdings eine Reihe von Materialien, die einem Lambert-Material nahekommen:

  • Mattes Papier: Kleine Lufteinschlüsse zwischen den Papierfasern bilden Streuzentren für das sichtbare Licht. Fehlen sie, zum Beispiel nach Tränken des Papiers mit Wasser oder Öl, verliert Papier einen Teil seiner Reflexionseigenschaften und wird transluzent.
  • Milchglas: Auch hier sorgen Streuzentren im Innern des Glases dafür, dass Licht diffus gestreut wird. Milchglas streut dabei eher zurück, als dass es durchlässt.
  • Die Emissionsfläche von Leuchtdioden (ohne Plastiklinse)
  • Flächen aus gesintertem PTFE (Spectralon): Optisches PTFE wird oft in einer Ulbricht-Kugel verwendet, die wiederum einen Lambert-Strahler nachbilden soll.
  • Reflexionsnormale aus gepresstem oder gespachteltem Bariumsulfat[1]

Lommel-Seeliger-Gesetz[Bearbeiten]

Eine bessere Näherung für die Rückstreuung sehr dunkler Flächen ist das Lommel-Seeliger-Gesetz.[2] Es berücksichtigt zusätzlich eine Abhängigkeit vom Beobachtungswinkel \phi:

I(\theta) = \frac{A \cos(\theta)}{\cos(\theta) + \cos(\phi)}

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Physikalisch Technische Bundesanstalt PTB: Zur Rotationsinvarianz von Reflexionsnormalen. Abgerufen am 20. Juli 2012.
  2. Erstnennung in:  Johann Heinrich Lambert, Ernst Anding: Lamberts Photometrie: 1. Th. Das directe Licht. - 2. Th. Die Schwächung des Lichts durch durchsichtige Körper, besonders durch Glas. W. Engelmann, 1892, S. 177 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).