Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Elektrodynamik das Verhalten der magnetischen Momente eines ferromagnetischen Materials in einem effektiven magnetischen Feld \textbf{H}_\mathrm{eff}. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz[1] und T. L. Gilbert. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung, aus der allerdings durch Berücksichtigung der nichtlokalen Natur dieses Effektivfeldes bezüglich der Wechselwirkung der Magnetisierungsdipole eine komplizierte Integro-Differentialgleichung entsteht.

Landau-Lifschitz-Gleichung[Bearbeiten]

Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie beschreibt sowohl die Präzession der Magnetisierung \textbf{M} [2] als auch die auftretende Dissipation. \mathrm M_S ist der konstante Betrag des Vektors \textbf M\,, die sogenannte „Sättigungsmagnetisierung“.

\frac{\partial \textbf{M}}{\partial t} = - \gamma \textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff} - \frac{\lambda}{\mathrm M_S} \textbf{M} \times (\textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff})

mit dem gyromagnetischen Verhältnis \gamma und dem phänomenologischen Dämpfungsparameter \lambda. Jedoch versagt diese Formel für den Fall großer Dämpfung (\lambda \rightarrow \infty).

Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung[Bearbeiten]

1955 ersetzte Gilbert den Dämpfungsterm und führte eine Art zähflüssige Kraft ein. Es ergab sich die sog. Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung:

\frac{\partial \textbf{M}}{\partial t} = - \frac{\gamma}{1+\alpha ^2} \textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff} - \frac{\gamma \alpha}{(1+\alpha^2)\mathrm M_S} \textbf{M} \times (\textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff})\,,

die sich in äquivalenter Form auch einfacher schreiben lässt (exakt!):

\frac{\partial \textbf m}{\partial t}\, =\, -\gamma_G \,\textbf m\times \textbf{H}_\mathrm{eff}\, +\, g\,\textbf m\times\frac{\partial \textbf m}{\partial t}\,,

mit \gamma_G=\frac{\gamma}{1+\alpha ^2}, dem Gilbert-Dämpfungsparameter g=|\gamma_G |\alpha und der Identifikation \textbf m=\frac{\textbf M}{\mathrm M_S} (Einheitsvektor). Man kann zeigen, dass die zuletzt resultierende Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung mit der im vorigen Unterkapitel zitierten originalen Landau-Lifschitz-Gleichung identisch ist, wenn man g|\gamma | mit λ identifiziert; der entscheidende Unterschied ist aber, außer der größeren formalen Einfachheit, dass in "fits" jetzt nicht \gamma und \lambda\,, sondern \gamma_G und \alpha benutzt werden. Formal wird nur \,\gamma\textbf{H}_\mathrm{eff} durch \gamma_G\textbf{H}_\mathrm{eff}-{g}\,\frac{\partial \textbf m}{\partial t} ersetzt; der letzte Term enthält alle Dämpfungsterme.

Im Gegensatz zur Landau-Lifschitz-Gleichung richtet sich das magnetische Moment nun asymptotisch für t\to\infty in Richtung des Feldes aus, wobei sich nun wie in der Mechanik beim „gedämpften Oszillator“ [3]  die Dämpfung auch auf die Präzessionsfrequenz auswirkt. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

Das „effektive Feld“[Bearbeiten]

Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor \textbf H_\mathrm{eff} von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Auf Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden.

Spinwellen u.ä.[Bearbeiten]

Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper

Mit den Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichungen können u.a. auch dynamische Zustände (z. B. Spinwellen, wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u.a. auch die sehr langreichweitige magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den Computersimulationen hohen Speicherbedarf und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt. [4]

Die Dispersionsrelationen in diesen Systemen - das sind die Beziehungen zwischen Frequenz und Wellenlänge der Anregungszustände - sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr komplex.

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Landau, Lifschitz, Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies, Phys. Z. Sowietunion, Band 8, 1935, S. 153
  2. Zur Bedeutung des Vektors \textbf M\,:    Es gilt, dass \mu_0\textbf{M}\mathrm dV das magnetische Moment des infinitesimal-kleinen Volumens dV ist. Dabei ist \mu_0 die magnetische Vakuumpermeabilität.
  3. Zum gedämpften harmonischen Oszillator: Siehe alle Lehrbücher der theoretischen Mechanik
  4. J. Miltat, G. Albuquerque, A. Thiaville: An Introduction to Micromagnetics in the Dynamic Regime. In: Topics Applied Physik 83: 1-34, Springer-Verlag Berlin, 2002 (online; PDF; 10,7 MB)