Lange Gerade

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Der Begriff lange Gerade (oder Alexandroff-Gerade) bezeichnet in der Topologie einen topologischen Raum, der anschaulich einer ins Überabzählbare verlängerten Geraden entspricht. Da sie sich lokal wie die Gerade verhält, sich global aber wesentlich davon unterscheidet, dient sie in der Topologie häufig als Gegenbeispiel. Sie ist vor allem eines der beliebtesten Beispiele eines nicht parakompakten topologischen Raums. In der Definition einer Mannigfaltigkeit fordert man üblicherweise die Existenz einer abzählbaren Basis oder äquivalente Bedingungen (siehe zweites Abzählbarkeitsaxiom), lässt man diese Bedingung fallen, so kann die lange Gerade als – sogar differenzierbare – Mannigfaltigkeit ohne abzählbare Basis angesehen werden, Sätze wie der Einbettungssatz von Whitney gelten für solch eine Mannigfaltigkeit aber natürlich nicht.

Definition[Bearbeiten]

Der abgeschlossene lange Strahl L wird definiert als das kartesische Produkt der kleinsten überabzählbaren Ordinalzahl \omega_1 mit dem halboffenen Intervall [0,1), ausgestattet mit der von der lexikographischen Ordnung induzierten Ordnungstopologie. Der offene lange Strahl bezeichnet das Komplement des Ursprungs (0,0) im abgeschlossenen langen Strahl.

Invertiert man die Ordnungsrelation auf dem offenen langen Strahl, vereinigt diese geordnete Menge mit dem abgeschlossenen langen Strahl so zu einer neuen geordneten Menge, dass jedes Element des ersteren kleiner ist als jedes Element des letzteren, und versieht diese dann mit der Ordnungstopologie, so erhält man die lange Gerade. Anschaulich hat man dann in beide Richtungen einen offenen langen Strahl an den Ursprung geheftet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Koch, Winfried & Puppe, Dieter: Differenzierbare Strukturen auf Mannigfaltigkeiten ohne abzählbare Basis. In: Archiv der Mathematik. 19, 1968, S. 95–102.
  •  Kneser, H. & Kneser, M.: Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden. In: Archiv der Mathematik. 11, 1960, S. 104–106.
  •  Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur, Jr.: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York 1978.
  • Neuauflage:  . Dover Publications, New York 1995, ISBN 0-486-68735-X.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Steven G. Krantz: Guide to Topology, Cambridge University Press (2009), ISBN 0-88385-346-9, Kapitel 2.10 "Paracompactness"