Legendre-Filter

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Legendre-Filter, auch als Optimum-L-Filter bezeichnet, sind kontinuierliche Frequenzfilter deren Übertragungsfunktion auf den namensgebenden Legendre-Polynomen aufbaut. Legendre-Filter wurden 1958 von dem griechischen Mathematiker Athanasios Papoulis vorgestellt.[1]

Legendre-Filter stellen einen Kompromiss zwischen dem Butterworth-Filter und dem Tschebyscheff-Filter dar: Der Betragsfrequenzverlauf ist steiler als bei Butterworth-Filter und besitzt im Gegensatz zu den Tschebyscheff-Filter im Sperr- und im Durchlassbereich einen monotonen Verlauf.

Übertragungsfunktion[Bearbeiten]

Vergleich des Betragsverlaufes zwischen Butterworth-, Legendre- und Tschebyscheff-Typ-1-Filter

Der quadrierte Betragsfrequenzverlauf für die Filterordnung n ist gegeben durch

M^2_n(\omega)=\frac{1}{1+L_n(\omega^2)}

mit dem modifizierten n-ten Optimal-Polynom L_n, welches sich durch die Erfüllung mehrerer spezieller Kriterien auszeichnet, die die gewünschten Eigenschaften Monotonie der Übertragungsfunktion und gleichzeitig maximale Steilheit im Sperrbereich sicherstellen. Dies sind die Nebenbedingungen[2]

L_n(0) = 0 \quad \text{(Gl. 1)}
L_n(1) = 1 \quad \text{(Gl. 2)}

und die Forderung nach monotonem Anstieg

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega } L_n(\omega^2) \ge 0 \quad \text{(Gl. 3)}

Hauptbedingung ist die Forderung nach maximaler Steilheit im Sperrbereich, z. B. ab \omega \ge 1:

\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega } L_n(\omega^2) \right|_{\omega = 1} = \text{Maximum} \quad \text{(Gl. 4)}

Herleitung[Bearbeiten]

Für k+1 linear unabhängige Polynome Q_i(x) des Grades 0 \le i \le k, im einfachsten Falle Q_i(x)=x^i, lässt sich mit indirekter Erfüllung der (Gl. 3) ein Ansatz für das gesuchte optimale Polynom bilden:

L_n(\omega^2) = \int_{0}^{\omega^2} \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i Q_i(x) \right]^2 dx \quad \text{(Gl. 5-1)}

mit k+1 unbekannten Koeffizienten a_i. Da der Integrand ein gerades Polynom ist, ist L_n(x) ungerade mit n=2k + 1. Um ein gerades L_n(x) mit n=2k + 2 zu erhalten, bietet sich folgendes an:

L_n(\omega^2) = \int_{0}^{\omega^2} x \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i Q_i(x) \right]^2 dx \quad \text{(Gl. 5-2)}

Beide Ansätze erfüllen automatisch die Bedingen aus (Gl. 1) und (Gl. 3), da x in (Gl. 5-2) immer positiv ist. Für die gewählten Basispolynome lässt sich beispielsweise (Gl. 5-1) auflösen und in (Gl. 2) überführen

L_n(1) = \int_{0}^{1} \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i Q_i(x) \right]^2 dx = 1 \quad \text{(Gl. 6)}

Dies ist eine quadratische Gleichung in den Koeffizienten a_i, die nach einem Koeffizienten, am einfachsten nach a_0, aufgelöst werden kann. Eingesetzt in (Gl. 5-1) verbleiben noch k unbekannte Koeffizienten, die in k nichtlinearen Gleichungen aus den partiellen Ableitungen von (Gl. 4) gelöst werden können. Mit dem geraden Ansatz in (Gl. 5-2) ist analog zu verfahren.

Für allgemeine Polynome Q_i(x) ist das resultierende Gleichungssystem für k > 2 nur noch schwer analytisch zu lösen. Der Ansatz von (Gl. 5) legt jedoch nahe, die Legendre-Polynome P_i(x) der 1. Art als Basis zu verwenden, in der Erwartung, dass viele Teilintegrale verschwinden und sich die Herleitung vereinfacht. Dieses stellte Papoulis 1958 für (Gl. 5-1) in seiner ersten Arbeit[1] vor. Dazu müssen jedoch die Integralgrenzen an die Eigenschaften der Legendre-Polynome angepasst und skaliert werden, so dass sich folgende Gleichung ergibt:

L_n(\omega^2) = \int_{-1}^{2\omega^2-1} \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i P_i(x) \right]^2 dx = \int_{-1}^{2\omega^2-1} \sum_{i=0}^{k} a_i P_i(x) \sum_{j=0}^{k} a_j P_j(x) dx = \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{k} a_i a_j \int_{-1}^{2\omega^2-1} P_i(x) P_j(x) dx \quad \text{(Gl. 7)}

Damit vereinfacht sich die (Gl. 2), beziehungsweise (Gl. 6), erheblich zu

L_n(1) = \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{k} a_i a_j \int_{-1}^{1} P_i(x) P_j(x) dx = \sum_{i=0}^{k} a_i^2 \int_{-1}^1 P_i^2(x) dx = 2 \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i^2}{2i+1} = 1

Für a_0 erhält man so

a_0^2 = \frac{1}{2} - \sum_{i=1}^{k} \frac{a_i^2}{2i+1} \quad \text{(Gl. 8)}

Zur Bestimmung des Maximums in (Gl. 4) wird die partielle Ableitung von a_0 nach den noch unbekannten Koeffizienten a_j mit 0<j \le k benötigt:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a_j } a_0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a_j } \sqrt{\frac{1}{2} - \sum_{i=1}^{k} \frac{a_i^2}{2i+1}} = \frac{-a_j}{(2j+1)a_0} \quad \text{(Gl. 9)}

Beachte: Für die innere Ableitung liefert nur der Summand mit dem Index i=j einen Beitrag, weil alle andere Summanden von a_j unabhängig sind. a_0 ist identisch mit dem Wurzelausdruck in (Gl. 9), wird aber zur einfacheren Darstellung im Weiteren wie ein konstanter Parameter mitgeführt, auf den sich die Lösung der unbekannten a_j beziehen soll. Anschließend wird a_0 so bestimmt, dass (Gl. 8) oder (Gl. 2) erfüllt sind.

Bei der Bildung der linken Seite von (Gl. 4) ist die folgende Erkenntnis wichtig. Für alle P_i(x) und P_j(x) ergibt sich die Identität:

\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega } \int_{-1}^{2\omega^2-1} P_i(x)P_j(x) dx \right|_{\omega = 1} = 4 \quad \text{(Gl. 10)}

Damit wird (Gl. 4) zu

 4 \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i \right]^2 = \operatorname{Maximum}(a_j) \quad \text{(Gl. 11)}

Notwendige Bedingung für ein Maximum ist, dass alle partiellen Ableitungen der linken Seite von (Gl. 11) nach den unbekannten Koeffizienten a_j Null sind. Dabei ist zu berücksichtigen, dass a_0 ebenfalls von allen a_j gemäß (Gl. 8) und (Gl. 9) abhängt

 4 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a_j } \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i \right]^2 = 4 \cdot 2 \left( \sum_{i=0}^{k} a_i \right) {\mathrm{d} \over \mathrm{d}a_j } \left( a_0 + a_j \right) = 8 \left( 1 - \frac{a_j}{(2j+1)a_0} \right) \sum_{i=0}^{k} a_i= 0_j \quad \text{(Gl. 12)}

Bemerkung: Nur die zwei Summanden a_0 und a_j sind von a_j abhängig.

Die Summe ist nur null, wenn a_0 und alle a_j=0 sind, was aber ausgeschlossen ist, da dann L_n(x) = \text{konstant} und auch (Gl. 8) verletzt wäre. Also muss der Klammerausdruck null sein und die Lösung enthalten

a_j = (2j+1) a_0 \quad \text{(Gl. 13)}

Eingesetzt in (Gl. 8) ergibt sich

a_0^2 = \frac{1}{2} - \sum_{i=1}^{k} (2i+1)a_0^2  = \frac{1}{2} - k(k+2) a_0^2

oder

(k+1)^2 a_0^2 = \frac{1}{2}

für

a_0 = \frac{1}{\sqrt{2}(k+1)} \quad \text{(Gl. 14)}

Mit (Gl. 13) ergibt sich für alle Koeffizienten a_i = \frac{2i + 1}{\sqrt{2}(k+1)} \quad \text{(Gl. 15)}

Für gerade n = 2k+2 nach (Gl. 5-2) veröffentlichte Papoulis eine analoge Lösung.[3] Nach der Skalierung auf die geeigneteren Intervalgrenzen gilt dann

L_n(\omega^2) = \int_{-1}^{2\omega^2-1} (x+1) \left[ \sum_{i=0}^{k} a_i P_i(x) \right]^2 dx = \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{k} a_i a_j \int_{-1}^{2\omega^2-1} (x+1) P_i(x) P_j(x) \quad \text{(Gl. 16)}

Analog zu der hilfreichen Identität aus (Gl. 10) gilt für gerade n

\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega } \int_{-1}^{2\omega^2-1} (x+1) P_i(x)P_j(x) dx \right|_{\omega = 1} = 8

Die Koeffizienten lauten:

a_i = \begin{cases}\frac{2i + 1}{\sqrt{(k+1)(k+2)}}& \text{für } k + i \text{ gerade}\\0&\text{sonst}\end{cases}

Fazit

Als Basis für das optimale Polynom L_n(\omega^2) ist die Verwendung der namensgebenden Legendre-Polynome nicht zwingend notwendig. Jede andere linear unabhängige, polynomiale Basis Q_i(x) führt zum selben Ergebnis, die analytische Herleitung ist aber wesentlich schwieriger, wenn nicht sogar unmöglich. Um die ohnehin mühsame und fehleranfällige Auflösung von (Gl. 7) und (Gl. 16) etwas zu vereinfachen, lassen sich die Nenner der a_0^2 respektive a_1^2 als Faktoren vor das Integral stellen. Das führt zu

L_n(\omega^2) = \frac{1}{2(k+1)^2} \int_{-1}^{2\omega^2-1} \left[ \sum_{i=0}^{k} (2i + 1) P_i(x) \right]^2 dx \quad \text{(Gl. 17)}

respektive

L_n(\omega^2) = \frac{1}{(k+1)(k+2)} \int_{-1}^{2\omega^2-1} (x+1) \left[ \sum_{i=0}^{k} b_i P_i(x) \right]^2 dx \quad \text{(Gl. 18)}

mit  b_i = \begin{cases}2i + 1&\text{für } k+i \text{ gerade}\\0&\text{sonst}\end{cases}

Ergebnis[Bearbeiten]

Für die Filterordnung n von 1 bis 6 lauten die Optimal-Polynome L_n(\omega^2) des Filters:[2][4]

n L_n(\omega^2)
1 \omega^2
2 \omega^4
3 \omega^2 - 3\omega^4 + 3\omega^6
4 3\omega^4 - 8\omega^6 + 6\omega^8
5 \omega^2 - 8\omega^4 + 28\omega^6 - 40\omega^8 + 20\omega^{10}
6 6\omega^4 - 40\omega^6 + 105\omega^8 - 120\omega^{10} + 50\omega^{12}

Weitere Polynome bis zu 10. Ordnung sind in den genannten Quellen zu finden.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Athanasios Papoulis: Optimum Filters with Monotonic Response. 46, Nr. 3, Proceedings to the IRE, März 1958, S. 606 bis 609.
  2. a b Notes on “L” (Optimal) Filters by C. Bond, 2011. Abgerufen am 31. August 2012 (PDF; 172 kB).
  3.  Athanasios Papoulis: On Monotonic Response Filters. 47, Proceedings to the IRE, 1959, S. 332 bis 333.
  4. Optimum “L” Filters Polynomials, Poles and Circuit Elements, 2004. Abgerufen am 31. August 2012 (PDF; 100 kB).

Literatur[Bearbeiten]

  •  Franklin F. Kuo: Network Analysis and Synthesis. 2. Auflage. Wiley, 1966, ISBN 0-471-51118-8.