Legendre-Konstante

Die ersten 100.000 Glieder der Folge $a_{n}=\ln(n)-{\frac {n}{\pi (n)}}$ _ deuten eine Konvergenz gegen 1,08366 _ an.

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl $n$ sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

$\lim _{n\to \infty }{\biggl (}\!\ln(n)-{\frac {n}{\pi (n)}}{\biggr )}=B,$

dabei ist $\ln(n)$ der natürliche Logarithmus von $n$, $\pi (n)$ die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als $n$ sind, und $B$ die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst $n$=400.000, später $n$=1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849, dass dieser Grenzwert $B$ den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{wenn }}x\to \infty$

(für eine positive Konstante $a$, wo $O(\dotso )$ das Landau-Symbol ist), dass $B$ tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard und Charles de La Vallée Poussin (ohne Restabschätzung) bewiesen.

Weblink

• Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch).