Legendre-Konstante

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Die ersten 100.000 Glieder der Folge an = ln(n)−n/π(n) (rot) deuten eine Konvergenz gegen 1,08366 (blau) an

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel zur Abschätzung der Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als eine gegebene Zahl n sind, auftritt. Ihr Wert wurde später als genau 1 nachgewiesen.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

\lim_{n \to \infty} \biggl(\!\ln(n) - \frac{n}{\pi(n)}\biggr) = B,

wobei \ln(n) der natürliche Logarithmus von n, \pi(n) die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als n sind, und B die Legendre-Konstante ist, die Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst n=400.000, später n=1.000.000 auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Tschebyschef bewies 1849[1] dass wenn B existiert, so ist dieser Grenzwert 1. Ein leichter Beweis war von Pintz[2] 1980 gegeben.

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatz in der folgender Form

 \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{wenn } x \to \infty

(fur eine positive Konstant a, wo O(…) das Landau-Symbol ist), der unabhängig von Jacques Hadamard[3] und Charles de La Vallée Poussin,[4]1896 bewiesen war, dass B tatsächlich 1 ist.

Literatur und Quellen[Bearbeiten]

  • Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
  1. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Seite 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974.
  2. J. Pintz. On Legendre's prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733-735.
  3. Sur la distribution des zéros de la fonction \zeta(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online
  4. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899

Weblink[Bearbeiten]