Legendre-Symbol

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Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt und wird wie folgt notiert:

\left(\frac{a}{p}\right) \qquad (a/p) \qquad L(a,p)

Diese drei Notationen geben jeweils an, ob die Zahl a ein quadratischer Rest modulo p oder quadratischer Nichtrest modulo p ist. Dabei muss p eine Primzahl sein. Es gilt

\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}
1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\
-1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\
0 & \mbox{wenn } a \mbox{ ein Vielfaches von } p \mbox{ ist}
\end{cases}

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialfall des Jacobi-Symbols, das die gleiche Schreibweise hat.

Das Eulersche Kriterium gibt an, wie sich das Legendre-Symbol für alle Primzahlen p außer der 2 berechnen lässt:

\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p

Die Zahl 2 wird durch die Formel nicht berücksichtigt, da gilt

-1 \equiv 1 \pmod 2,

d.h. alle Zahlen sind entweder Vielfache von 2 oder quadratische Reste modulo 2: L(a,2) = a\, \bmod 2.

Beispiele[Bearbeiten]

2 ist ein quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja 2\equiv 3^2\pmod 7:
\left(\frac{2}{7}\right) \equiv 2^{\frac{7-1}{2}}= 2^3 \equiv 1\mod7
5 ist kein quadratischer Rest modulo 7:
\left(\frac{5}{7}\right) \equiv 5^{\frac{7-1}{2}} = 5^3 \equiv 6 \equiv -1 \mod 7
14 ist durch 7 teilbar:
\left(\frac{14}{7}\right) \equiv 14^{\frac{7-1}{2}} = 14^3 \equiv 0 \mod7

Rechenregeln[Bearbeiten]

Das Quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Es seien nun a, b \in \Z und p eine Primzahl. Dann gelten folgende Rechenregeln:

  • a \equiv b \pmod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
  • \left(\frac{a}{p}\right) \cdot \left(\frac{b}{p}\right) = \left(\frac{a\cdot b}{p}\right)
  • \sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0, sofern p\ne 2.

Die besondere Stellung der Zahl 3[Bearbeiten]

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und -1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

\left(\frac{a}{3}\right) = a^{\frac{3-1}{2}}\ \operatorname{mod}\ 3 = a \ \operatorname{mod}\ 3

Wenn man also ein Legendre-Symbol in Legendre-Symbole der Form \left(\frac{a}{3}\right) zerlegen kann, so lässt sich der Wert, den das Legendre-Symbol zurückliefert, leicht berechnen.

Andererseits gilt auch:

\left(\frac{3}{p}\right) = \prod_{l=1}^{\frac{p-1}{2}} \left[3-4\,\sin^2{\left(\frac{2 \pi l}{p}\right)}\right]