Leibniz-Kriterium

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Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.[1]

Aussage des Kriteriums[Bearbeiten]

Partialsumme einer alternierende Reihe

Sei (a_n)_{n \in \N} eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

s = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\,.

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

Beispiele[Bearbeiten]

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische Reihe[Bearbeiten]

Die alternierende harmonische Reihe

1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15\mp\cdots=\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-Reihe[Bearbeiten]

Hauptartikel: Leibniz-Reihe
1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \mp \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}.

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn (a_n) nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte die nicht-monotone Nullfolge


a_n =
  \begin{cases}
    0 & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{gerade},\\
    \frac{2}{n+1} & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{ungerade}.
  \end{cases}

Die alternierende Reihe s mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe s divergent.

Abschätzung des Grenzwerts[Bearbeiten]

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei

s_N = \sum_{n=0}^N (-1)^n a_n

die N-te Partialsumme der Reihe

s = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n

mit einer monoton fallenden Nullfolge (a_n)_{n\in\N}.

Dann gilt für alle k \in \mathbb{N}:

s_{2k-1} \le s \le s_{2k}.

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:[2]

|s-s_N| = \left|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n a_n \right| \le a_{N+1}.

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten die Teilfolge (s_0,s_2,s_4,\dots) = (s_{2k})_{k\in\mathbb{N}} der Folge der Partialsummen. Da die Folge (a_k)_{k\in\N} monoton fallend ist, gilt

s_{2k+2}=s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2}\le s_{2k},\quad k\in\mathbb{N},

das heißt die Folge (s_{2k})_{k\in\N} ist ebenfalls monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

s_{2k}=(a_0-a_1)+(a_2-a_3)+ \dots +(a_{2k-2}-a_{2k-1})+a_{2k}\ge a_{2k} \ge 0,

nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge (a_k)_{k\in\N} größer gleich Null sind. Die Folge (s_{2k})_{k\in\N} ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge (s_1,s_3,s_5,\dots) = (s_{2k+1})_{k\in\N} ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k+1}= \lim_{k\rightarrow\infty} \left(s_{2k} - a_{2k+1}\right) =\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k}

wegen

\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k+1}=0

gilt.[3]

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Dirichlet-Kriteriums dar.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Leibniz criterion. In: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
  2. Siehe http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
  3. Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit a_1, so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.