Leibniz-Kriterium

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.[1]

Aussage des Kriteriums[Bearbeiten]

Eine alternierende Reihe

Sei (a_n)_{n \in \N} eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

s = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\,.

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

Beispiele[Bearbeiten]

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische Reihe[Bearbeiten]

Die alternierende harmonische Reihe

1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15\mp\cdots=\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-Reihe[Bearbeiten]

Hauptartikel: Leibniz-Reihe
1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \mp \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}.

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn (a_n) nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte


a_n =
 \begin{cases} 0 & \mathrm{falls}\ n=0 \\
 \frac{2}{n} & \mathrm{falls}\ 0\ne n\ \mathrm{gerade}\\
 \frac{4}{(n+1)^2} & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{ungerade}\,.
\end{cases}

Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent.

Abschätzung des Grenzwerts[Bearbeiten]

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei s_k die k-te Partialsumme der Folge

s_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n.

Dann gilt für alle l \in \mathbb{N}:

s_{2l-1} \le s \le s_{2l}.

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

|S-S_N| = \left|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n a_n \right| \le a_{N+1}.

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten die Teilfolge s_0,s_2,s_4,\dots = (s_{2k})_{k\in\mathbb{N}} der Folge der Partialsummen. Da die Beträge der Glieder a_i monoton abnehmen, gilt

s_{2k+2}=s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2}\le s_{2k},\quad k\in\mathbb{N}\,.

d.h. die Folge (s_{2k})_k ist monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

s_{2k}=(a_0-a_1)+(a_2-a_3)+ \dots +(a_{2k-2}-a_{2k-1})+a_{2k}\ge a_{2k} \ge 0

wobei die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Beträge der Glieder a_i größer gleich Null sind. Die Folge (s_{2k})_k ist also nicht nur monoton fallend sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge s_1,s_3,s_5,\dots,s_{2k+1},\dots ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k+1}= \lim_{k\rightarrow\infty} \left(s_{2k} - a_{2k+1}\right) =\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k}

wegen

\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k+1}=0

gilt.[2]

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Dirichlet-Kriteriums dar.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Leibniz criterion. In: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
  2. Beweis nach Handbuch der Mathematik Leipzig 1986 ISBN 3-8166-0015-8 Seite 408-409 - im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit a_1, so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.