Leibniz-Kriterium

Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.

Aussage des Kriteriums

Eine alternierende Reihe

Sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

$s = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\,.$

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.

Beispiele

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Alternierende harmonische Reihe

Die alternierende harmonische Reihe

$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15\mp\cdots=\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2$

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

Leibniz-Reihe

→ Hauptartikel: Leibniz-Reihe

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \mp \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$.

Gegenbeispiel

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn $(a_n)$ nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachte

$a_n = \begin{cases} 0 & \mathrm{falls}\ n=0 \\ \frac{2}{n} & \mathrm{falls}\ 0\ne n\ \mathrm{gerade}\\ \frac{4}{(n+1)^2} & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{ungerade}\,. \end{cases}$

Die Reihe $S$ mit diesen Koeffizienten hat als positive Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent.

Abschätzung des Grenzwerts

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei $s_k$ die $k$-te Partialsumme der Folge

$s_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n.$

Dann gilt für alle $l \in \mathbb{N}$:

$s_{2l-1} \le s \le s_{2l}.$

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach $N$ Summanden:

$|S-S_N| = \left|\sum_{n=N+1}^\infty (-1)^n a_n \right| \le a_{N+1}.$

Beweis

Wir betrachten die Teilfolge $s_0,s_2,s_4,\dots = (s_{2k})_{k\in\mathbb{N}}$ der Folge der Partialsummen. Da die Beträge der Glieder $a_i$ monoton abnehmen, gilt

$s_{2k+2}=s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2}\le s_{2k},\quad k\in\mathbb{N}\,.$

d.h. die Folge $(s_{2k})_k$ ist monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

$s_{2k}=(a_0-a_1)+(a_2-a_3)+ \dots +(a_{2k-2}-a_{2k-1})+a_{2k}\ge a_{2k} \ge 0$

wobei die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Beträge der Glieder $a_i$ größer gleich Null sind. Die Folge $(s_{2k})_k$ ist also nicht nur monoton fallend sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge $s_1,s_3,s_5,\dots,s_{2k+1},\dots$ ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

$\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k+1}= \lim_{k\rightarrow\infty} \left(s_{2k} - a_{2k+1}\right) =\lim_{k\rightarrow\infty} s_{2k}$

wegen

$\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k+1}=0$

gilt.

Verallgemeinerung

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Dirichlet-Kriteriums dar.

Weblinks

• Beweis: Leibniz-Kriterium