Lemma von Bramble-Hilbert

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In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion u durch ein Polynom der maximalen Ordnung m-1 mit Hilfe der Ableitungen m-ter Ordnung von u ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von u werden durch L^p-Normen auf einem beschränkten Gebiet im \mathbb{R}^n gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von u bei linearer Interpolation von u. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von u können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten L^p-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und C^1-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur m-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens m-1 erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei \textstyle \Omega ein beschränktes Gebiet im \textstyle \mathbb{R}^{n} mit Lipschitz-Rand und Durchmesser \textstyle d. Weiter sei m \in \mathbb{N} beliebig und k \in \{0, \ldots, m\}.

Auf dem Sobolew-Raum W_p^k(\Omega) , verwendet man die Halbnorm

 |u|_{W_p^k(\Omega)} : = \left(\sum \limits_{|\alpha| = k} \|D^{\alpha}u \|_{L^p(\Omega)}^{p} \right)^{\frac{1}{p}}.

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem u \in W_p^k(\Omega) ein Polynom v existiert, dessen Grad höchstens m-1 beträgt, so dass die Ungleichung

|u-v|_{W_p^k(\Omega)} \leq C d^{m-k}|u|_{W_p^m(\Omega)}

mit einer Konstanten C = C(m, \Omega) erfüllt ist.

Weblinks[Bearbeiten]