Lemma von Farkas

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Das Lemma von Farkas ist ein mathematischer Hilfssatz (Lemma). Er wurde 1902 von Julius Farkas aus Klausenburg (damals Österreich-Ungarn, heute Rumänien) als „Grundsatz der einfachen Ungleichungen“ veröffentlicht. Als eine der ersten Aussagen über Dualität erlangte dieses Lemma große Bedeutung für die Entwicklung der linearen Optimierung und die Spieltheorie.

Das Lemma von Farkas kann verwendet werden, um den starken Dualitätssatz der linearen Optimierung und den Satz von Kuhn-Tucker zu beweisen. Es dient weiter dazu, finanztheoretische Arbitrageprobleme zu behandeln.

Satz[Bearbeiten]

Für jede reelle Matrix A und jeden reellen Vektor b ist von beiden Systemen

(1) A x = b,~x \geq 0
(2) A^\top y \geq 0,~b^\top y < 0

stets genau eines lösbar. Dabei ist x \geq 0 sowie A^\top y \geq 0 komponentenweise zu verstehen.

Herleitung[Bearbeiten]

Diese Aussage lässt sich auf die geometrische Beobachtung zurückführen, dass zwei konvexe Polyeder P, Q genau dann durch eine Hyperebene trennbar sind, wenn ihr Durchschnitt P\cap Q leer ist.

Dabei kann (1) als die Aussage interpretiert werden, dass b im konvexen Kegel C=\{z=Ax:\;x\ge0\} liegt. Dieser hat seine Spitze im Ursprung und wird von den Spalten der Matrix A aufgespannt. Liegt b in diesem Kegel, so folgt aus y^\top A\ge0 immer schon y^\top b\ge 0, Aussage (2) gilt also nicht.

Liegt b nicht in diesem Kegel C, ist also (1) falsch, dann können Punkt und konvexer Kegel durch eine Hyperebene getrennt werden. Eine solche Hyperebene ist durch eine Gleichung y^\top z-d=0 definiert. Die Trennungseigenschaft kann so spezialisiert werden, dass der Kegel C im positiven Halbraum und b im negativen Halbraum der affinen Funktion y^\top z-d=0 liegen. Insbesondere gilt für die erzeugenden Punkte 0,a_1,\dots, a_n des Kegels und beliebige positive Vielfache davon

-d\ge 0,~y^\top ta_1-d\ge 0,\dots,~y^\top ta_n-d\ge 0 und gleichzeitig y^\top b<d,

woraus Aussage (2) folgt.

Varianten[Bearbeiten]

  • Das Ungleichungssystem Ax\le b ist genau dann lösbar, wenn y^\top b\ge 0 für jeden Vektor  y\ge0 mit y^\top A=0 gilt.
  • Das Ungleichungssystem Ax\le b hat genau dann eine Lösung x\ge0, wenn y^\top b\ge 0 für jeden Vektor  y\ge0 mit y^\top A\ge0 gilt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Julius Farkas: Theorie der einfachen Ungleichungen. In: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. Band 124, S. 1–27.
  • Alexander Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming. In: Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. Wiley, 1994, Seiten 89ff, ISBN 978-0471982326.