Lemma von Itō

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Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, die Funktionen eines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen Differential- und Integralrechnung.

Version für Wiener-Prozesse[Bearbeiten]

Sei (W_t)_{t \geq 0} ein (Standard-)Wiener-Prozess und h\colon \R \to \R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

h(W_t) = h(W_0) + \int_0^t h'(W_s) \, {\rm d} W_s + \frac{1}{2} \int_0^t h''(W_s) \, {\rm d}s\,.

Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch Y_t = h(W_t) für t \geq 0 definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise

{\rm d}Y_t = h'(W_t) \, {\rm d}W_t + \frac{1}{2} h''(W_t) \, {\rm d}t\,.

Version für Itō-Prozesse[Bearbeiten]

Ein stochastischer Prozess  (X_t)_{t \ge 0} heißt Itō-Prozess, falls

 X_t = X_0+\int_0^t a_s\,{\rm d}s+\int_0^t b_s\,{\rm d}W_s

für zwei stochastische Prozesse a_s, b_s gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

 {\rm d}X_t=a_t\,{\rm d}t+b_t\,{\rm d}W_t\,.

Ist  h\colon \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch Y_t :=h(t,X_t) definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt[1]

\begin{align} {\rm d}Y_t &= \frac{\partial h}{\partial t}(t,X_t)\,{\rm d}t + \frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)\, {\rm d}X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (t,X_t) ({\rm d}X_t)^2\\
&= \left(\frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)\, a_t + \frac{\partial h}{\partial t}(t,X_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (t,X_t)\, b_t^2\right){\rm d}t+\frac{\partial h}{\partial x}(t,X_t)\, b_t \,{\rm d}W_t\,.
\end{align}

Hierbei bezeichnen \tfrac{\partial h}{\partial t} und \tfrac{\partial h}{\partial x} die partiellen Ableitungen der Funktion h nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von ({\rm d}X_t)^2 = b_t^2 \, {\rm d}t und Zusammenfassen der {\rm d} t- und {\rm d} W_t-Terme.

Version für Semimartingale[Bearbeiten]

Sei  (X_t)_{t \geq 0} =(X_t^1,\dotsc,X_t^d)_{t \geq 0} ein \R^d-wertiges Semimartingal und sei  F\in C^2(\R^d, \R) . Dann ist (F(X_t))_{t \geq 0} wieder ein Semimartingal und es gilt

 
\begin{align}
F(X_t)-F(X_0)= & \sum_{j=1}^d \int_0^t \frac{\partial F}{\partial x^j}(X_{s-}){\rm d}X_s^j + \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^d \int_0^t\frac{\partial^2 F}{\partial x^j \partial x^k}(X_{s-}) {\rm d}[X^j,X^k]^c_s\\
&{}+ \sum_{0<s\leq t}\left( F(X_s)-F(X_{s-}) - \sum_{j=1}^d \frac{\partial F}{\partial x^j}(X_{s-}) \Delta X_s^j \right).
\end{align}

Hierbei ist \textstyle X_{s-} = \lim_{u \uparrow s} X_u der linksseitige Grenzwert und \Delta X_s^j = X_s^j - X_{s-}^j der zugehörige Sprungprozess. Mit [X^j, X^k]^c wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten X^j und X^k bezeichnet. Falls X ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte Summe in der Formel und es gilt [X^j, X^k]^c = [X^j, X^k].

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für Y_t = \sin(W_t) gilt {\rm d}Y_t = \cos(W_t)\,{\rm d}W_t - \tfrac{1}{2}\sin(W_t)\,{\rm d}t.
 S_t=S_0 e^{rt- \frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma W_t}
eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes
{\rm d}S_t=r S_t\, {\rm d}t+ \sigma S_t\, {\rm d}W_t
ist.
Hierzu wählt man  X_t=W_t, also a_t=0,\; b_t=1 .
Dann ergibt das Lemma mit h(t,x) = S_0 e^{rt- \frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma x}:
 {\rm d}S_t=\left[\left(r- \frac{\sigma^2}{2} +\frac{\sigma^2}{2}\right) S_0 e^{rt-\frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma W_t} \right]{\rm d}t+\left[\sigma S_0 e^{rt- \frac{1}{2} \sigma^2 t +\sigma W_t}\right]{\rm d}W_t =rS_t\, {\rm d}t+\sigma S_t \,{\rm d}W_t\,.

Literatur[Bearbeiten]

  • Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations(2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hui-Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).