Lemma von Nakayama

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra:

Es sei M ein endlich erzeugter nichttrivialer R-Modul und $\mathfrak{a}$ ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von R liegt. Dann ist $\mathfrak{a}M\neq M$.

Beweis

Wir nehmen $\mathfrak{a}M=M$ an. Es sei $\{u_1, \ldots, u_n\}$ ein minimales Erzeugendensystem von M. Da $M$ nichttrivial ist, folgt $n\ge 1$ und $u_n \not=0$.

Da nach Annahme $u_n\in\mathfrak{a}M$, gäbe es dann eine Gleichung der Form $u_n = \sum_{i=1}^n a_i u_i$ mit $a_i\in\mathfrak{a}$, also $(1-a_n)u_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i u_i$.

Da $a_n$ im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor $1-a_n$ eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

• Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, N ein Untermodul und $\mathfrak{a}\subset J(R)$ ein Ideal, so gilt

$M=\mathfrak{a}M+N\ \Rightarrow\ M = N$.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird, kann man zum Heben von Basen verwenden:

• Es seien R ein lokaler Ring, $\mathfrak{m}$ sein maximales Ideal und $\kappa := R/\mathfrak{m}$ der Restklassenkörper.

Sind dann $x_1, \ldots, x_n$ Urbilder einer Basis des $\kappa$-Vektorraums $M/\mathfrak{m}M$, so erzeugen die $x_i$ den Modul M.