Lemma von Urysohn

Das der Topologie entstammende Lemma von Urysohn sagt Folgendes aus:

Wenn $X$ ein T₄ Raum ist und $A$ und $B$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen dieses Raumes sind, dann existiert eine stetige Funktion

$f\colon X \rightarrow [0, 1]$

wobei $f(a) = 0$ für alle $a \in A$ und $f(b) = 1$ für alle $b \in B$.

Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt und wurde von diesem 1925 veröffentlicht. Es wird vielfach benutzt, um stetige Funktionen mit verschiedenen Eigenschaften zu konstruieren. Seine breite Anwendungsmöglichkeit basiert darauf, dass alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.

Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar. Bei dessen Beweis wird üblicherweise das Urysohn'sche Lemma angewandt.

Es bleibt noch anzumerken, dass der obige Satz nicht behauptet, dass $f(x) \ne 0$ und $f(x) \ne 1$ außerhalb der Teilmengen $A$ und $B$ erreicht werden kann. Diese zusätzliche Bedingung kann nur in perfekt normalen Räumen erfüllt werden.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).