Lemniskatische Konstante

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Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

\varpi = 2 \int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}} = 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate auf.

Bezeichnung[Bearbeiten]

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel \varpi (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von \pi\ , um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

\pi = 2\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen \Pi, und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent \tfrac{\varpi}{2}.

Im Englischen findet sich für die Minuskel \varpi auch die (irreführende) Bezeichnung pomega.

Im englischen Sprachraum wird

G = \varpi/\pi = 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)

als Gaußkonstante bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Mit der Betafunktion \Beta und der Gammafunktion \Gamma gilt

\varpi = \tfrac{1}{2}\,\Beta(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}) = \Gamma(\tfrac{1}{4})^2 / \bigl(2 \sqrt{2\pi}\bigr).

Gauß fand die Beziehung

\varpi = \pi / M(1, \sqrt{2})

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel M und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

\varpi = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}^{\!2} \frac{1}{2^{5k}}

mit Summanden der Größenordnung \frac{1}{k2^k} an. Die Auswertung

\varpi = 2 \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{1}{(4k+1) 2^{2k}}

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung \frac{1}{k^{3/2}} sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

\varpi = \pi \biggl(\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k\,e^{-\pi k^2}\biggr)^2

mit Summanden der Größenordnung e^{- \pi k^2}.

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante \gamma her:[1]

\log\varpi = \tfrac12\gamma - \tfrac12\log2 + \log\pi + \frac2{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\log(2k+1)}{2k+1}\,.

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von \varpi.[2] Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass \Gamma(1/4) und somit auch \varpi algebraisch unabhängig von \pi ist.[3][4]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.
  • Carl Ludwig Siegel: Transzendente Zahlen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.
  • A. I. Markuschewitsch: Analytic Functions. Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov, A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2, S. 133–136.
  • Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben)
  • Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant, Kapitel 6.1 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 420–423 (englisch)
  • Hans Wußing, Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a].

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)
  2. Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale (11. März 1936), Mathematische Annalen 113, 1937, S. 1–13
  3. G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)
  4. Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers, American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch)