Lerchsche Zeta-Funktion

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Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition[Bearbeiten]

Die beiden Funktionen

L(\lambda, \alpha, s) = \sum_{n=0}^\infty \frac { \exp(2\,\pi\,i\,\lambda\,n)} {(n+\alpha)^s}

und

\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {(n+\alpha)^s}

werden als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch

\,\Phi(\exp (2\,\pi\,\,i\,\lambda), s,\alpha)=L(\lambda, \alpha,s)

gegeben.

Spezialfälle und spezielle Werte[Bearbeiten]

\,\zeta(s,n)=L(0,n,s)=\Phi(1,s,n)
\,\textrm{Li}_s(z)=z\,\Phi(z,s,1)
\,\chi_n(s)=2^{-n}\,z\,\Phi(s^2,n,\tfrac 12)
\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)
\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)
\beta(s)=2^{-s}\,\Phi(-1,s,\tfrac12)

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):[1]

\Phi(z,s,1)=\frac{\mathrm{Li}_s(z)}z
\Phi(z,0,a)=\frac1{1-z}
\Phi(0,s,a)=\left(a^2\right)^{-\frac s2}
\Phi(0,s,a)=a^{-s}\,
\Phi(z,1,1)=-\frac{\log(1-z)}z
\Phi(1,s,\tfrac12)=(2^s-1)\zeta(s)
\Phi(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\,
\Phi(0,1,a)=\frac1{\sqrt{a^2}}

Ferner ist

\begin{align}
&\Phi(-1,2,\tfrac12)&=&\; 4\,G 
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,1) &=&\; \log\left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{\mathrm e}}\right)
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-2,1) &=&\; \frac{7\,\zeta(3)}{4\,\pi^2}
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,\tfrac12) &=&\; \frac{G}\pi
\end{align}

mit der catalanschen Konstanten G, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten A und der Apery-Konstanten \zeta(3) der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln[Bearbeiten]

Integraldarstellungen[Bearbeiten]

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

\Phi(z,s,a)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}\mathrm{e}^{-at}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt 
\qquad\quad\mathrm{ f\ddot ur }\;
\begin{cases} & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>0 \text{ und } z<1 \\ \text{oder } & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>1\text{ und }z=1\end{cases}

Das Kurvenintegral

\Phi(z,s,a)=-\frac{\Gamma(1-s)}{2\,\pi\, i}\int\limits_0^\infty \frac{(-t)^{s-1}\mathrm{e}^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt \qquad\qquad
\mathrm{Re}\;a>0,\;\mathrm{Re}\;s<0,\;z<1

darf die Punkte t=\log z+2\,k\,\pi\,i,\;k\in\Z nicht enthalten.

Ferner ist

\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2\,a^s}+\int\limits_0^\infty\frac{z^t}{(a+t)^s}\,\mathrm dt+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt \qquad\qquad
\mathrm{f\ddot ur}\; \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } |z|<1

und

\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac{\log^{s-1}\dfrac1z}{z^a}\,\Gamma(1-s,a\log\dfrac1z)+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt
\qquad\qquad \mathrm{f\ddot ur}\; \mathrm{Re}\,a>0.

Reihendarstellungen[Bearbeiten]

Eine Reihendarstellung für die transzendente Lerch ist

\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{-s}.

Sie gilt für alle s und komplexe z mit \mathrm{Re}\,z<\tfrac12; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls s positiv und ganz ist, gilt

\Phi(z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum_{{k=0}\atop k\neq n-1}^\infty\zeta(n-k,a)\frac{\log^k z}{k!}+\left[\Psi(n)-\Psi(a)-\log(-\log z)\right]\frac{\log^{n-1} z}{(n-1)!}\right\}.

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

\Phi(z,s,a+x)=\sum_{k=0}^\infty\Phi(z,s+k,a)(s)_k\frac{(-x)^k}{k!}\qquad\qquad |x|<\mathrm{Re}\,a

gegeben.

Ist a=-n, gilt

\Phi(z,s,a)=\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k)^s}+z^n\sum_{m=0}^\infty(1-m-s)_m\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{(a+n)^m}{m!}\qquad\qquad a\rightarrow-n

Der Spezialfall n=0 hat folgende Reihe:

\Phi(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum_{m=0}^\infty(1-m-s)_{m}\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!}\qquad\qquad |a|<1.

Die asymptotische Entwicklung für s\rightarrow-\infty ist gegeben durch

\Phi(z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[2\,k\,\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{2\,k\,\pi\,a\,i} \qquad\qquad 
|a|<1,\;\mathrm{Re}\;s<0,\; z\notin (-\infty,0)

und

\Phi(-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[(2\,k+1)\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{(2\,k+1)\pi\,a\,i} \qquad\qquad
|a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0,\; z\notin (0,\infty).

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac1{z^a}\sum_{k=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2\,\pi\,i\,(k-1)a}\,\Gamma(1-s,a\,(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}+\frac{\mathrm{e}^{2\,\pi\,i\,k\,a}\,\Gamma(1-s,a\,(2\,\pi\,i\,k-\log z))}{(2\,\pi\,i\,k-\log z)^{1-s}} \quad |a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0.

Identitäten und weitere Formeln[Bearbeiten]

\Phi(z,s,a)=z^n\,\Phi(z,s,a+n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac {z^k}{(k+a)^s}
\Phi(z,s-1,a)=\left(a+z\frac{\partial}{\partial z}\right) \Phi(z,s,a)
\Phi(z,s+1,a)=-\,\frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial a} \Phi(z,s,a)
\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s+1)\,\frac{\Phi(z,s+1,v)-\Phi(z,s+1,u)}{u-v} \quad\;\;\mathrm{f\ddot ur}\,
\begin{cases} z\in\C\,\setminus [1,\infty) \text{ und } \mathrm{Re}\;s>-2 \\ z=1\text{ und Re}\;s>-1\end{cases}[2]
\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s)\,\Phi(z,s+2,u)
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\text{ebendann}

Literatur[Bearbeiten]

  • Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: \scriptstyle\frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
  • M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series \scriptstyle_2\psi_2, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
  • Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv
  • Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
  2. Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)