Levi-Civita-Körper

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Levi-Civita-Körper ist ein Körper, der von Tullio Levi-Civita erfunden wurde. Die reellen Zahlen bzw. die komplexen Zahlen sind ein Unterkörper des Levi-Civita-Körpers. Der Levi-Civita-Körpers findet Anwendung in der effizienten symbolischen Berechnung von Werten von höheren Ableitungen von Funktionen.

Definition[Bearbeiten]

Grundmenge des Körpers[Bearbeiten]

Die Grundmenge des Levi-Civita-Körpers sind alle Funktionen x: \Q \to \R (bzw. x: \Q \to \C), die einen linksendlichen Träger haben.

Notation[Bearbeiten]

  • So wie die reellen Zahlen mit \R abgekürzt werden, kann man den Levi-Civita-Körper mit \mathcal R oder mit \mathcal C abkürzen, je nachdem, ob die Grundmenge aus reellen oder komplexen Funktionen besteht.
  • Falls x im Levi-Civita-Körper ist und einen nichtleeren Träger hat, so bezeichnet man mit \lambda(x) das Minimum des Trägers, das wegen Linksendlichkeit existiert.
  • Man schreibt für x, y \in \mathcal R bzw. x, y \in \mathcal C und r \in \Q, dass x =_r y :\Leftrightarrow \forall q \in \Q, q \le r, x(q) = y(q).

Addition[Bearbeiten]

Die Addition von zwei Elementen der Grundmenge x und y wird folgendermaßen definiert:

(x + y)(q) := x(q) + y(q)

Das additive Inverse lautet wie folgt:

(-x)(q) := -x(q)

Das Nullelement lautet:

0(q) := 0 \in \R bzw. 0(q) := 0 \in \C

Multiplikation[Bearbeiten]

Die Multiplikation von zwei Elementen der Grundmenge x und y wird folgendermaßen definiert:

(x \cdot y)(q) := \sum_{q_x, q_y \in \Q \atop q = q_x + q_y} x(q_x) \cdot y(q_y)

Einselement[Bearbeiten]

Das Einselement des Levi-Civita-Körpers ist die Funktion

1(q) = \left\{
	\begin{array}{ll}
		1 & \mbox{falls } q = 0 \\
		0 & \mbox{sonst }
	\end{array}
\right..

Multiplikatives Inverses[Bearbeiten]

Wenn z ein Element des Levi-Civita-Körpers ist, so kann man ein multiplikatives Inverses wie folgt konstruieren: Man wählt \tilde z(q) = z(q-a) \cdot \frac{1}{b}, wobei a \in \Q die kleinste Zahl mit z(a) \ne 0 ist und b = z(a). Wenn der Träger von \tilde z nur die 0 enthält, dann ist (\tilde z)^{-1} = \tilde z. Sonst ist z = y+1 für ein y im Levi-Civita-Körper und man sucht erst nach einem x mit (x + 1) \cdot (y + 1) = 1. Man definiert die Folge (y_i)_{i \in \N} durch y_0 = y und y_{i+1} = -y \cdot y_i - y. Dann erfüllt  x = \lim\limits_{n \to \infty} y_n die gewünschte Eigenschaft. Dann ist (\tilde z)^{-1} = x + 1. Nun findet man das multiplikative Inverse von z durch z^{-1}(q) = \tilde z ^{-1} (q+a) \cdot \frac{1}{b}.

Fixpunktsatz[Bearbeiten]

Die obige Definition des multiplikativen Inversen ergibt sich aus dem Beweis des Fixpunktsatzes (siehe in der ersten Quelle), der garantiert, dass der Limes der Folge (y_i)_{i \in \N} existiert und die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Der Fixpunktsatz lautet wie folgt:

Sei q_M \in \Q. Sei M \subset \mathcal R bzw. M \subset \mathcal C die Menge der Elemente x, sodass \lambda(x) \ge q_M. Sei ferner f: M \to \mathcal R bzw. f: M \to \mathcal C eine Funktion mit den Eigenschaften

  • f(M) \subset M
  • \exists k \in \Q, k > 0: \forall x_1, x_2 \in \mathcal R (bzw. x_1, x_2 \in \mathcal C) : \forall q \in \Q: x_1 =_q x_2 \Rightarrow f(x_1) =_{q+k} f(x_2)

Dann existiert genau ein x \in \mathcal R bzw. x \in \mathcal C, sodass:

x = f(x)

Einbettung der reellen bzw. komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Um die reellen bzw. komplexen Zahlen in den Levi-Civita-Körper einzubetten, bedient man sich folgender Funktion:

\Pi:\R \to \mathcal R bzw. \Pi:\C \to \mathcal C
\Pi(x)(q) = \left\{
	\begin{array}{ll}
		x & \mbox{falls } q = 0 \\
		0 & \mbox{sonst }
	\end{array}
\right..

Hierbei wird das Einselement von \R bzw. \C auf das Einselement von \mathcal R bzw. \mathcal C abgebildet. Ferner ist \Pi ein Homomorphismus bezüglich der Addition und der Multiplikation. Daher können die reellen und komplexen Zahlen als Unterkörper des Levi-Civita-Körpers angesehen werden.

Ordnung des reellen Levi-Civita-Körpers[Bearbeiten]

Seien x, y \in \mathcal R bzw.. Man sagt x > y, wenn x - y \ne 0 und (x - y)(\lambda(x - y)) > 0. Dadurch wird der Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen zu einem geordneten Körper.

Mit dieser Ordnung ist zum Beispiel die Zahl

d(q) = \left\{
	\begin{array}{ll}
		1 & \mbox{falls } q = 1 \\
		0 & \mbox{sonst }
	\end{array}
\right.

kleiner als jede positive reelle Zahl.

Das Archimedische Axiom ist für den Levi-Civita-Körper nicht erfüllt. Beispielsweise gilt: \forall n \in \N : \epsilon \in \R_+ \Rightarrow n \cdot d < \epsilon

Wurzeln[Bearbeiten]

Bezüglich der oben definierten Multiplikation hat jedes y \in \mathcal C immer genau n verschiedene n-te Wurzeln. Für ein x \in \mathcal R existieren die folgenden Anzahlen von n-ten Wurzeln von x:

n ungerade n gerade
x negativ 1 0
x positiv 1 2
x null 1 1

Betrag[Bearbeiten]

Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen[Bearbeiten]

Sei x \in \mathcal R. Der Betrag von x ist definiert durch:

|x| := \left\{
	\begin{array}{ll}
		-x  & \mbox{falls } x < 0 \\
		x & \mbox{sonst }
	\end{array}
\right.

Levi-Civita-Körper der komplexen Funktionen[Bearbeiten]

Sei x \in \mathcal C, x = a + ib, wobei i die imaginäre Zahl ist. Der Betrag von x ist definiert durch:

|x| := \sqrt{a^2 + b^2}

Hierbei ist die Wurzel bezüglich der oben definierten Multiplikation des Levi-Civita-Körpers gemeint.

Halbnorm[Bearbeiten]

Sei r \in \Q. Dann kann man die folgende Halbnorm auf dem Levi-Civita-Körper definieren:

\|x\|_r = \sup_{q \le r} |x(q)|

, wobei | \cdot | der Betrag der reellen bzw. komplexen Zahlen ist.

Topologien[Bearbeiten]

Ordnungstopologie[Bearbeiten]

Sei M \sub \mathcal R bzw. M \sub \mathcal C. Sei

O(x_0, \epsilon) := \{x \in \mathcal R: |x - x_0| < \epsilon\} bzw. O(x_0, \epsilon) := \{x \in \mathcal C: |x - x_0| < \epsilon\}.

Für die Ordnungstopologie definiert man als offene Menge, sofern

\forall x_0 \in M : \exists \epsilon > 0 : O(x_0, \epsilon) \sub M.

Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:

Halbnormtopologie[Bearbeiten]

Sei \| \cdot \|_r die Halbnorm des Levi-Civita-Körpers. Sei M \sub \mathcal R bzw. M \sub \mathcal C. Sei

S(x_0, \epsilon) := \{x \in \mathcal R: \|x - x_0\|_{1/\epsilon} < \epsilon\}.

Für die Halbnormtopologie definiert man M als offene Menge, sofern

\forall x_0 \in M : \exists \epsilon > 0 : S(x_0, \epsilon) \sub M.

Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:

Derivation[Bearbeiten]

Man kann auf dem Levi-Civita-Körper eine Derivation \partial definieren:

(\partial x)(q) := (q+1)x(q+1)

Für diese Derivation gilt:

  • \partial 0 = 0
  • \forall x \in \mathcal R, x \neq 0: \lambda(\partial x) = \lambda(x) - 1

Anwendungen[Bearbeiten]

Der Levi-Civita-Körper ermöglicht die effiziente Berechnung höherer Ableitungen von Funktionen wie zum Beispiel

x \mapsto \frac{\sin(x^3 + 2x + 1) + \frac{3+\cos(\sin(\ln |1+x|))}{\exp(\tanh(\sinh(\cosh(\frac{\sin(\cos(\tan(\exp(x))))}{\cos(\sin(\exp(\tan(x+2))))}))))}}{2 + \sin(\sinh(\cos(\tan^{-1}(\ln(\exp(x) + x^2 + 3)))))}.

Es gibt ein auf dem Levi-Civita-Körper basierendes Programm, welches den Wert der 19. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 innerhalb von weniger als einer Sekunde berechnet. Mathematica benötigt hingegen zur Berechnung des Wertes der 6. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 mehr als 6 Minuten.

Quellen[Bearbeiten]

  •  Martin Berz: Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields. In: Martin Berz, Christian Bischof, George Corliss, Andreas Griewank (Hrsg.): Computational differentiation. Techniques, applications, and tools. Proceedings of the 2nd International Workshop held in Santa Fe, NM, February 12–14, 1996. ISBN 0-89871-385-4, 2 (Online, abgerufen am 6. Juni 2013).
  •  Khodr Shamseddine, Martin Berz: The Differential Algebraic Structure of the Levi-Civita Field and Applications. (Online (PDF; 199 kB), abgerufen am 15. August 2013).