Lie-Algebren-Kohomologie

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In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur de-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mathfrak g eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra \Lambda\mathfrak g^*=\bigoplus_k\Lambda^k\mathfrak g^* des dualen \mathbb R-Vektorraumes \mathfrak g^* definieren wir für alle k\in\mathbb N einen Operator

d^k:\Lambda^k\mathfrak g^*\rightarrow\Lambda^{k+1}\mathfrak g^* wie folgt.

Sei

f\in \operatorname{Hom}(\Lambda^k\mathfrak g,\mathbb R) \cong \Lambda^k\mathfrak g^*,

dann definieren wir

d^kf\in \operatorname{Hom}(\Lambda^{k+1}\mathfrak g,\mathbb R) \cong \Lambda^{k+1}\mathfrak g^*

durch

d^k f(g_1\wedge\ldots\wedge g_{k+1})=\sum_{1\le i<j\le k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_i,g_j\right]\wedge g_1\wedge\ldots \hat{g_i}\ldots\hat{g_j}\ldots\wedge g_{k+1})+\sum_{1\le i\le k}\left(-1\right)^if(g_1\wedge\ldots\hat{g_i}\ldots\wedge g_{k+1}).

Der Komplex (\Lambda\mathfrak g^*,d^\bullet) heißt Koszul-Komplex. Für alle k\in\mathbb N gilt

d^{k}d^{k-1}=0.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von \mathfrak g ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

H^k(\mathfrak g):= \ker(d^k)/ \operatorname{im}(d^{k-1}).

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie[Bearbeiten]

Für eine Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra \mathfrak g ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der G-invarianten Differentialformen auf G:

(\Lambda\mathfrak g^*,d^\bullet)= (\Omega^G(G),d),

die Lie-Algebren-Komologie von \mathfrak g ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes (\Omega^G(G),d).

Elie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

\Omega^G(G)\subset \Omega^\bullet(G)

einen Isomorphismus der de-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen G gilt also

H^\bullet_{dR}(G)=H^\bullet(\mathfrak g).

Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung[Bearbeiten]

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung \pi:\mathfrak{g} \rightarrow\mathrm{gl}(V) die folgende Kohomologie-Kontruktion durchgeführt.[1]

Für  k>0 sei C_{\pi}^k der Raum der k-linearen, alternierenden Abbildungen \mathfrak{g}^k\rightarrow V, für k=0 sei C_{\pi}^0 = V. Ferner sei \delta^k:C_{\pi}^k \rightarrow C_{\pi}^{k+1} durch

(\delta^k f)(g_1\wedge\ldots\wedge g_{k+1})=\sum_{1\le i<j\le k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_i,g_j\right]\wedge g_1\wedge\ldots \hat{g_i}\ldots\hat{g_j}\ldots\wedge g_{k+1})+\sum_{1\le i\le k+1}\left(-1\right)^i \pi(g_i)f(g_1\wedge\ldots\hat{g_i}\ldots\wedge g_{k+1}).

In der angebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch k+1 dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt \delta^k \circ \delta^{k+1} = 0, das heißt es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus

Z_\pi^k =  \mathrm{ker}(\delta^k)

nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus

B_\pi^k =  \mathrm{im}(\delta^{k-1})

heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen

H_\pi^k := Z_\pi^k/B_\pi^k

definiert, wobei im Falle k=0 der Korandoperator \delta^{-1} als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von \mathfrak{g} mit Werten in V bzgl. \pi.[2]

Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch Formel

(\rho(g)f)(h) := \pi(h)(f(g)),\quad g,h\in \mathfrak {g}, f\in Z_\pi^1

eine Darstellung \rho:\mathfrak{g}\rightarrow \mathrm{gl}(Z_\pi^1) definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn Z_\pi^1=B_\pi^1 ist, das heißt wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse[3]:

1. Lemma von Whitehead: Ist \mathfrak{g} eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist \pi:\mathfrak{g}\rightarrow\mathrm{gl}(V) eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist H_\pi^1 = \{0\}.

2. Lemma von Whitehead: Ist \mathfrak{g} eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist \pi:\mathfrak{g}\rightarrow\mathrm{gl}(V) eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist H_\pi^2 = \{0\}.

Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf Z_\pi^1:

  • Ist \mathfrak{g} eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist 0\rightarrow U\rightarrow V\, \xrightarrow{\varphi}\, W \rightarrow 0 eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen \mathfrak{g}-Moduln, so zerfällt diese, das heißt es gibt einen \mathfrak{g}-Modul-Morphismus \psi:W\rightarrow V mit \varphi\circ\psi = \mathrm{id}_W.

Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.[4]

Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi. [5]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), Kapitel IV: Cohomology Groups associated with a representation
  2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Definition II.5.3
  3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.5.12, II.5.14
  4. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.16, II.5.5, II.5.12
  5. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.8, II.5.7, II.5.14

Literatur[Bearbeiten]

  • C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85-124.
  • J. L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math. France , 78 (1950) pp. 65–127
  • Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603. online
  • J. C. Jantzen, Representations of Algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Boston, etc., 1987 (Academic).
  • J. C. Jantzen: Restricted Lie algebra cohomology. Lecture Notes in Math. 1271 (1986), 91-108.
  • Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II.5: Lie-Algebra-Kohomologie
  • A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1988, 509 pp.