Lie-Algebren-Kohomologie

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In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur de-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mathfrak g eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra \Lambda\mathfrak g^*=\bigoplus_k\Lambda^k\mathfrak g^* des dualen \mathbb R-Vektorraumes \mathfrak g^* definieren wir für alle k\in\mathbb N einen Operator

d^k:\Lambda^k\mathfrak g^*\rightarrow\Lambda^{k+1}\mathfrak g^* wie folgt.

Sei

f\in \operatorname{Hom}(\Lambda^k\mathfrak g,\mathbb R) \cong \Lambda^k\mathfrak g^*,

dann definieren wir

d^kf\in \operatorname{Hom}(\Lambda^{k+1}\mathfrak g,\mathbb R) \cong \Lambda^{k+1}\mathfrak g^*

durch

d^k f(g_1\wedge\ldots\wedge g_{k+1})=\sum_{1\le i<j\le k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_i,g_j\right]\wedge g_1\wedge\ldots \hat{g_i}\ldots\hat{g_j}\ldots\wedge g_{k+1})+\sum_{1\le i\le k}\left(-1\right)^if(g_1\wedge\ldots\hat{g_i}\ldots\wedge g_{k+1}).

Der Komplex (\Lambda\mathfrak g^*,d^\bullet) heißt Koszul-Komplex. Für alle k\in\mathbb N gilt

d^{k}d^{k-1}=0.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von \mathfrak g ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

H^k(\mathfrak g):= \ker(d^k)/ \operatorname{im}(d^{k-1}).

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie[Bearbeiten]

Für eine Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra \mathfrak g ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der G-invarianten Differentialformen auf G:

(\Lambda\mathfrak g^*,d^\bullet)= (\Omega^G(G),d),

die Lie-Algebren-Komologie von \mathfrak g ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes (\Omega^G(G),d).

Elie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

\Omega^G(G)\subset \Omega^\bullet(G)

einen Isomorphismus der de-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen G gilt also

H^\bullet_{dR}(G)=H^\bullet(\mathfrak g).

Literatur[Bearbeiten]

Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603. online