Lie-Klammer

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Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

Definition[Bearbeiten]

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine innere Verknüpfung

[\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V,\quad (x,y)\mapsto [x,y],

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:[1]

  • Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also
[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]
und
[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]
für alle a, b\in K und alle x, y, z \in V.
 [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0
für alle x,y,z\in V.

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

Eigenschaft: Antisymmetrie[Bearbeiten]

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt [x, y] = -[y, x] für alle x, y \in V. Hat der Körper K nicht die Charakteristik 2, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft [x, x] = 0 herleiten. Dazu setzt man y=x.[1]

Beispiele[Bearbeiten]

Triviale Lie-Klammer[Bearbeiten]

Ist V ein beliebiger Vektorraum und sind a und b zwei Elemente des Raums, dann kann durch

[a,b] := 0

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator[Bearbeiten]

Seien A, B und C drei n \times n-Matrizen mit Einträgen in einem Körper K (zum Beispiel dem Körper \R der reellen oder dem Körper \C der komplexen Zahlen). Der Kommutator [\cdot, \cdot ] für quadratische Matrizen ist definiert durch

[A,B] := A \cdot B - B \cdot A,

wobei mit \cdot die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für \lambda , \mu \in K gelten für den Kommutator die Rechenregeln

\begin{align} \left[\lambda A + \mu B,C \right] &= (\lambda A + \mu B) \cdot C - C \cdot (\lambda A + \mu B)\\ 
&= \lambda (A\cdot C - C\cdot A) + \mu (B\cdot C-C\cdot B)\\ 
&= \lambda[A,C] + \mu[B,C]\,,\end{align}
[A,A] = A \cdot A - A \cdot A = 0 und
 \begin{align} 
\left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right] =& [A, B\cdot C-C\cdot B] + [B,C\cdot A-A\cdot C] + [C,A\cdot B-B\cdot A]\\
=& A\cdot (B\cdot C - C\cdot B) - (B\cdot C-C\cdot B) \cdot A + B\cdot (C\cdot A - A\cdot C)\\
&- (C\cdot A - A\cdot C) \cdot B + C \cdot (A\cdot B-B\cdot A) - (A\cdot B-B\cdot A) \cdot C\\
=&0\,.
\end{align}

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der n \times n-Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen


\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}.

über dem Körper \C der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von \sigma_1 und \sigma_3, so gilt

\begin{align} 
\left[\sigma_1 , \sigma_3\right] &= \sigma_1 \cdot \sigma_3 - \sigma_3 \cdot \sigma_1\\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} 
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
- 
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix} 
\\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
-
 \begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&= -2 \mathrm i \begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0
\end{pmatrix}\\
&= -2 \mathrm i \,\sigma_2\,.
\end{align}

Kreuzprodukt[Bearbeiten]

Hauptartikel: Kreuzprodukt

Für a , b \in \R^3 ist das Kreuzprodukt


  a\times b
  =
  \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
  \times
  \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
  :=
  \begin{pmatrix}
    a_2b_3 - a_3b_2 \\
    a_3b_1 - a_1b_3 \\
    a_1b_2 - a_2b_1
  \end{pmatrix}

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität a \times a = 0 können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

a \times \left(b \times c\right) + b \times \left( c \times a\right) +c\times \left(a \times b\right)

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lie-Ableitung

Seien X und Y zwei Vektorfelder auf der n-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit M. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f)).

Dieser Operator (X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch [X,Y] := \mathcal{L}_X Y.[2]

Jacobi-Klammer[Bearbeiten]

Seien A ein kommutativer Ring, B eine kommutative Algebra über A und \delta_1, \delta_2 \in \operatorname{Der}(B) zwei Derivationen von B. Dann ist die durch

[\delta_1, \delta_2] := \delta_1 \delta_2 - \delta_2 \delta_1

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.[3]

Poisson-Klammer[Bearbeiten]

Hauptartikel: Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer \{\cdot , \cdot \} ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

\{fg,h\}=f\{g,h\} + \{f,h\}g

für alle glatten Funktionen f, g und h. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten (q_1, \ldots , q_n,p_1, \ldots , p_n) hat die Poisson-Klammer die Darstellung

\{f,g\} = \sum_{i=1}^{n} \left( 
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right) .

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York 1997, ISBN 3-540-90053-5, S. 4.
  2. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S 278–279.
  3.  Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource]. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1988, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 105–106.