Lineare Hülle

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Ein Vektor \scriptstyle a und seine lineare Hülle \scriptstyle \langle a \rangle.

In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen], Aufspann oder Abschluss[1] genannt) einer Teilmenge A eines Vektorraums V über einem Körper K die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A mit Skalaren aus K. Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der A enthält.

Definition[Bearbeiten]

Konstruktive Definition[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum über einem Körper K und A \subset V eine Teilmenge des Vektorraums, dann ist

\langle A \rangle = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \alpha_ia_i \right| \alpha_i \in K, a_i \in A, n \in \N \right\} [2]

die lineare Hülle von A. Die lineare Hülle ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der a_i.

Im Fall einer endlichen Teilmenge A vereinfacht sich diese Definition zu

\langle\lbrace a_1, a_2, \dots, a_n \rbrace\rangle = \{ \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + \cdots + \alpha_na_n| \alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_n \in K \}.

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum, das heißt

\langle \emptyset \rangle = \{0\},

denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor.

Andere Definitionen[Bearbeiten]

Äquivalent (gleichwertig) zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge A eines Vektorraums V ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge A enthält.
  • Die lineare Hülle einer Teilmenge A eines Vektorraums V ist die Schnittmenge aller Untervektorräume U von V, die A enthalten.

Notation[Bearbeiten]

Als Symbole für die lineare Hülle von A werden \operatorname{span}(A) resp. \operatorname{Span}(A), \langle A \rangle, L(A), \operatorname{lin} A oder \mathcal L(A) verwendet. Ist A endlich, etwa A = \{a_1, \dots a_n\}, werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen \langle a_1, \dots a_n \rangle, L\{a_1, \dots a_n\} oder \mathcal L \{a_1, \dots a_n\} verwendet werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Seien zwei Mengen Teilmengen des K-Vektorraumes: A, B \subseteq V . Dann gilt:

  1.  A \subseteq \langle A \rangle ,
  2.  A \subseteq B  \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle,
  3.  \langle A \rangle = \langle \langle A \rangle \rangle .

Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator. [1]

Weiter gilt:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums V ist ein Untervektorraum von V.
  • Für jeden Unterraum U eines Vektorraums V gilt \langle U \rangle = U.
  • Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.
  • Die Summe U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 \mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \} zweier Unterräume U_1, U_2 ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also U_1 + U_2 = \langle U_1 \cup U_2 \rangle.
  • In der Menge T der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet T dann einen Verband.
  • Sind  U, V Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle und der Schnittmenge die Formel:
  \dim (U + V )+ \dim(U \cap V) = \dim U + \dim V  .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die lineare Hülle \langle a\rangle eines einzelnen Vektors a \in \R^2\setminus \lbrace (0,0)\rbrace ist eine Gerade durch den Ursprung.
  • Die beiden Vektoren (3,0,0) und (0,2,0) sind Elemente des reellen Vektorraums \R^3. Ihre lineare Hülle \langle (3,0,0), (0,2,0) \rangle ist die x-y-Ebene.

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 9783834809964, 384 Seiten.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162
  2. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30