Lineare Hülle

In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann oder Abschluss genannt) einer Teilmenge A (eines K-Vektorraums V) die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A und Skalaren des Körpers K. Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum. Dieser ist gleichzeitig der kleinste Untervektorraum, der A enthält.

Als Symbole für die lineare Hülle von $A$ werden $\operatorname{span}(A)$ (wegen engl. span), $\langle A \rangle$, $L(A)$, $\operatorname{lin} A$ oder $\mathcal L(A)$ verwendet. Ist $A$ endlich, etwa $A = \{a_1, \dots a_n\}$, werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen $\langle a_1, \dots a_n \rangle$, $L\{a_1, \dots a_n\}$ oder $\mathcal L \{a_1, \dots a_n\}$ verwendet werden.

Definition

Konstruktive Definition

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und $A \subset V$ eine Teilmenge des Vektorraums, dann ist

$\langle A \rangle = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \alpha_ia_i \right| \alpha_i \in K, a_i \in A, n \in \N \right\}$

die lineare Hülle von $A$. Die lineare Hülle ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der $a_i$.

Im Fall einer endlichen Teilmenge $A$ vereinfacht sich diese Definition zu

$\langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle = \{ \alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 + \cdots + \alpha_na_n| \alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_n \in K \}$.

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullraum:

$\langle \emptyset \rangle = \{0\}$.

Andere Definitionen

Äquivalent (gleichwertig) zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:

• Die lineare Hülle einer Teilmenge $A$ eines Vektorraums ist der kleinste lineare Unterraum, der die Menge $A$ enthält.
• Die lineare Hülle einer Teilmenge $A$ eines Vektorraums $V$ ist die Schnittmenge aller linearen Unterräume $U$ von $V$, die $A$ enthalten.

Eigenschaften

Seien zwei Mengen Teilmengen des K-Vektorraumes: $A, B \subseteq V$ . Dann gilt:

(i) $A \subseteq \langle A \rangle$,
(ii) $A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle$,
(iii) $\langle A \rangle = \langle \langle A \rangle \rangle$.
Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.

Weiter gilt:

• Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums $V$ ist ein Unterraum von $V$.

• Für jeden Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$ gilt $\langle U \rangle = U$.

• Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.

• Die Summe $U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 \mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \}$ zweier Unterräume $U_1, U_2$ ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also $U_1 + U_2 = \langle U_1 \cup U_2 \rangle$.

• In der Menge $T$ der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet $T$ dann einen Verband.

• Sind $U, V$ Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle und der Schnittmenge die Formel:

$\dim (U + V )+ \dim(U \cap V) = \dim U + \dim V$.

Beispiele

• Die lineare Hülle $\langle(a,b)\rangle$ eines einzelnen Vektors $(a,b) \in \R^2\setminus \lbrace (0,0)\rbrace$ ist eine Ursprungsgerade.

• Die beiden Vektoren $(3,0,0)$ und $(0,2,0)$ sind Elemente des reellen Vektorraums $\R^3$. Ihre lineare Hülle $\langle (3,0,0), (0,2,0) \rangle$ ist die $x$-$y$-Ebene.

• Sei $K[[X]] = \left\lbrace \left.\textstyle\sum\limits_{k=0}^{\infty} \alpha_k x^k \right| \alpha_k \in K \right\rbrace$ der Vektorraum der formalen Potenzreihen zum Körper $K$ und $A = \{ x^k | k \in \N \}$ die Menge der Monome. Dann ist die lineare Hülle von $A$ der Unterraum der Polynome:

  $\langle A \rangle = \left\lbrace \left.\textstyle\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i x^i \right| \alpha_i \in K, n \in \N \right\rbrace = K[X]$.

Siehe auch

• Erzeugnis