Linearform

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Die Linearform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Körper.

Im Kontext der Funktionalanalysis, das heißt im Falle eines topologischen \R- oder \C-Vektorraums, sind die Linearformen außerdem genau die linearen Funktionale.

Definition[Bearbeiten]

Es sei \mathbb{K} ein Körper und V ein \mathbb{K}-Vektorraum, eine Abbildung f: V \to \mathbb{K} heiße nun genau dann Linearform, wenn für alle Vektoren x;y \in V und Skalare \alpha \in \mathbb{K} gilt:

  1. f(x+y) = f(x) + f(y) (Additivität);
  2. f(\alpha x) = \alpha f(x) (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum V bildet dessen Dualraum V^* und damit selbst wieder in natürlicher Weise einen \mathbb{K}-Vektorraum.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Gilt speziell \mathbb{K} = \C und ändert man die zweite Bedingung in f(\alpha x) = \overline \alpha f(x) ab, wobei \overline \alpha das komplex Konjugierte von \alpha bezeichnet, erhält man eine Semilinearform.

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine Sesquilinearform, eine Bilinearform, oder allgemein eine Multilinearform.

Linearform als Tensor[Bearbeiten]

Eine Linearform f ist ein kovarianter Tensor erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch 1-Form. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von Differentialformen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Allgemeine Eigenschaften für Linearformen sind zum Beispiel:

  • Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige Basis von V vollständig bestimmt.
  • Sie sind entweder trivial (überall identisch 0_\mathbb{K}) oder surjektiv.
  • Haben zwei von Ihnen gleiche Kerne, so unterscheiden sie sich nur durch die Multiplikation mit einem Skalar.

Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:

Literatur[Bearbeiten]

  • Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991