Linearisierung

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Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenähert. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist.

Anwendungen[Bearbeiten]

Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Systeme durch lineare Systeme.

Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem. Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein lineares Gleichungssystem überführt werden. Nicht die einzige, aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt. Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Tangente[Bearbeiten]

Tangenten an sinus(x):
blau x_0 = 0,
grün x_0 = \frac{3 \cdot \pi}{4}

Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion (Punktsteigungsform der Geraden)

y_t = f(x_0) + \frac {df}{dx} \bigg| _{x_{0}} \cdot (x-x_0)

approximiert die Originalfunktion um den Punkt x_0\;. Dabei ist \frac {df}{dx} \bigg| _{x_{0}} der Anstieg im Punkt x_0\;.

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

F(x)=\bigg| \frac{f(x)-y_t(x)}{f(x)} \bigg|

Für die Funktion f(x)=\sin (x)\; gilt:

y(x)=\sin (x_0) + \cos (x_0) \cdot (x-x_0)

Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Glieds des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion.

Multiplikation[Bearbeiten]

Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition \Delta y = \Delta x_1 \cdot x_{2,AP}  + \Delta x_2 \cdot x_{1,AP}
(Arbeitspunkte x1,AP, x2,AP und yAP wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)

Befindet sich im Signalflussplan eine Multiplikationsstelle, so lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln:

Linearisierung einer Multiplikation im Arbeitspunkt (AP):

y = x_1 \cdot x_2
y = ( \Delta x_1 + x_{1,AP} ) \cdot ( x_{2,AP} + \Delta x_2 )
y = x_{1,AP} \cdot x_{2,AP} + x_{1,AP} \cdot \Delta x_2 + x_{2,AP} \cdot \Delta x_1 + \Delta x_1 \cdot \Delta x_2

Multiplikation durch Addition genähert:

y \approx x_{1,AP} \cdot x_{2,AP} + x_{1,AP} \cdot \Delta x_2 + x_{2,AP} \cdot \Delta x_1
Fehler:  e_y = \Delta x_1 \cdot \Delta x_2

Beispiel:

x_1=2{,}4;\ x_2=110 \Rightarrow y = x_1 \cdot x_2 = 264
Wähle: x_{1,AP} = 2;\ x_{2,AP} = 100 \Rightarrow \Delta x_1 = 0{,}4;\ \Delta x_2 = 10
\Rightarrow y \approx 2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 100 \cdot 0{,}4 = 260
Fehler: e_y = 0{,}4 \cdot 10 = 4

Division[Bearbeiten]

Es gilt

y=\frac{x_1}{x_2}

und

y=\frac{x_{1,AP}+\Delta x_1}{x_{2,AP}+\Delta x_2}

oder

y=\frac{x_{1,AP} }{x_{2,AP} }\cdot \frac{1+\frac{\Delta x_1 }{ x_1,AP} }{ 1+\frac{ \Delta x_2 }{ x_{2,AP}} }

Für die Geometrische Reihe gilt

Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan
\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Mit

q=-\frac{ \Delta x_2 }{ x_{2,AP}} und \vert q \vert \ll 1 gilt
\frac{1}{1+\frac{\Delta x_2}{x_{2,AP}} }\approx 1-\frac{\Delta x_2}{x_{2,AP}} .

Damit ist die linearisierte Division

y\approx \frac{x_{1,AP}}{x_{2,AP}} \cdot \left(1+\frac{\Delta x_1}{x_{1,AP}}-\frac{\Delta x_2}{x_{2,AP}}\right)

Linearisieren gewöhnlicher Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Das bekannteste Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differenzialgleichung ist das Pendel. Die Gleichung lautet:

\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\sin(y(t))=0

Der nichtlineare Teil ist \sin(y)\;. Dieser wird für kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt y_0\; approximiert durch:

\sin (y) \approx \sin (y_0) + \cos (y_0) \cdot (y-y_0)

Mit dem Arbeitspunkt y_0=0\; gilt:

\sin(y) \approx y \; und damit die linearisierte Differenzialgleichung
\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\cdot y(t)=0.

Weitere Details sind in Zustandsraumdarstellung beschrieben.

Tangentialebene[Bearbeiten]

Darstellung als Signalflussplan

Soll eine gegebene Funktion f(x_1,x_2)\; in einem Punkt x_{10},x_{20}\; linearisiert werden, wird sich der Taylor-Formel bedient. Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt.

Für die Funktion f(x_1,x_2)\; gilt in der Umgebung des Punktes x_{10},x_{20}:

y = \underbrace{f(x_{10}, x_{20})}_{=const.}+\underbrace {\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_1-x_{10})+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}

Beispiel:

f(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2

ergibt die Tangentialebene

y=\underbrace{x_{10}\cdot x_{20}}_{=const.} + \underbrace{x_{20}\cdot(x_1-x_{10})+x_{10}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]