Linearkombination

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Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ausdrücken lässt.

Definition[Bearbeiten]

Linearkombinationen endlich vieler Vektoren[Bearbeiten]

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Außerdem seien endlich viele Vektoren v_1,\ldots,v_n aus V gegeben. Dann nennt man jeden Vektor v \in V, der sich in der Form

 v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dotsb + a_n v_n = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

schreiben lässt (mit Skalaren a_1, \dotsc, a_n \in K) eine Linearkombination von v_1,\dotsc,v_n. Die Faktoren in der obigen Darstellung nennt man die Koeffizienten der Linearkombination. Auch die Darstellung selbst wird als Linearkombination bezeichnet.

Beispiel: Im dreidimensionalen (reellen) Vektorraum \mathbb{R}^3 ist der Vektor \left(\!\begin{smallmatrix} 16 \\ -4 \\ 3 \end{smallmatrix}\!\right) eine Linearkombination der Vektoren \left(\!\begin{smallmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{smallmatrix}\!\right) und \left(\!\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\!\right), denn

\begin{pmatrix} 16 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Die Koeffizienten sind in diesem Beispiel reelle Zahlen, denn wir betrachten hier einen reellen Vektorraum.

Linearkombinationen beliebig vieler Vektoren[Bearbeiten]

Linearkombinationen von unendlich vielen Elementen betrachtet man nur unter der Voraussetzung, dass in Wirklichkeit nur endlich viele hiervon in der Summe verwendet werden.

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Ferner sei (v_i)_{i \in I} eine durch die Indexmenge I indizierte Familie von Vektoren v_i \in V. Hat man dann zu jedem i\in I einen Koeffizienten a_i \in K derart, dass fast alle Koeffizienten Null sind, so ist

v = \sum_{i \in I} a_i v_i

die zugehörige Linearkombination. Dass nur endlich viele Koeffizienten (und damit Summanden) von 0 verschieden sind, ist erforderlich, damit die Summe überhaupt definiert werden kann. Eine konvergente Reihe ist also im Allgemeinen keine Linearkombination ihrer Summanden.

Linearkombinationen in Linksmoduln[Bearbeiten]

In einer weiter gehenden Verallgemeinerung ergibt der Begriff der Linearkombination bereits einen Sinn, wenn man Ringe statt Körpern und Linksmoduln statt Vektorräumen betrachtet. Viele der aus der linearen Algebra bekannten, einfachen Operationen lassen sich auch in dieser Allgemeinheit durchführen, lediglich das Auflösen nach einem Vektor aus einer Linearkombination kann misslingen, denn dazu muss man mit dem Inversen des Koeffizienten vor diesem Vektor multiplizieren und der Ring enthält diese Inversen in der Regel nicht.

Allgemeines[Bearbeiten]

In einem Vektorraum ist die Linearkombination von Vektoren mit Koeffizienten aus dem Körper des Vektorraums wieder ein Element des Vektorraums. Lassen sich alle Elemente des Vektorraums als Linearkombination aus einer Menge M darstellen, ist M ein Erzeugendensystem des Vektorraums. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren wird lineare Hülle genannt.

Der Nullvektor eines Vektorraums lässt sich immer als Linearkombination einer gegebenen Menge von Vektoren ausdrücken. Sind alle Koeffizienten einer solchen Linearkombination gleich 0 (Nullelement des zugrundeliegenden Körpers), so spricht man von einer trivialen Linearkombination. Sind die gegebenen Vektoren linear abhängig, so lässt sich der Nullvektor auch als nicht-triviale Linearkombination schreiben.

Linearkombinationen, deren Koeffizienten nicht beliebige reelle oder komplexe Zahlen, sondern ganze Zahlen sind (man spricht dann auch von einer ganzzahligen Linearkombination), spielen beim erweiterten euklidischen Algorithmus eine zentrale Rolle; er liefert eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen a,b als Linearkombination von a und b:

\operatorname{ggT}(a,b) = s \cdot a + t \cdot b.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Positive Koeffizienten[Bearbeiten]

Die (unendlich ausgedehnte) konische Hülle von zwei Vektoren im \mathbb{R}^2

Die hier betrachteten speziellen Linearkombinationen verwenden eine Ordnung auf dem Koeffizientenkörper, sie beschränken sich daher auf \mathbb{R}- oder \mathbb{Q}-Vektorräume.

  • Sind die Koeffizienten a_i der Linearkombination alle größer oder gleich null, so spricht man von einer konischen Linearkombination. Die entsprechende Hülle wird konische Hülle genannt und mit dem Symbol \operatorname{cone}(A) bezeichnet.
  • Sind die Koeffizienten der Linearkombination alle echt größer als null, so spricht man von einer Positivkombination.

Affine Kombination[Bearbeiten]

  • Ist die Summe der Koeffizienten gleich 1, so handelt es sich um eine Affinkombination. Diese Definition ist für beliebige Linksmoduln möglich.

Konvexkombination[Bearbeiten]

In reellen Räumen nennt man eine Linearkombination Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und deren Summe 1 ergibt:

 v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dotsb + a_n v_n = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i,\quad 0 \le a_i \le 1, \sum_{i=1}^{n}a_i=1.

Dabei kann die Bedingung a_i \le 1 entfallen, denn sie ergibt sich automatisch aus der Summenbedingung und der Nichtnegativität der Koeffizienten. Mit obigen Bezeichnungen gilt daher in reellen Räumen: Eine Linearkombination ist genau dann eine Konvexkombination, wenn sie konisch und affin ist.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen sind wieder Konvexkombinationen. Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren heißt deren konvexe Hülle.

Literatur[Bearbeiten]