Lipschitz-Stetigkeit

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Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz), auch Dehnungsbeschränktheit, bezeichnet in der Analysis eine Verschärfung der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen kann eine Lipschitz-stetige Funktion sich nur beschränkt schnell ändern: Alle Sekanten einer Funktion haben eine Steigung, deren Betrag nicht größer ist als eine Konstante, die Lipschitz-Konstante.

Eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit ist die Hölder-Stetigkeit.

Definition[Bearbeiten]

Eine Funktion f\colon\R\rightarrow\R heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante L existiert, so dass

|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|

für alle x_1, x_2 \in \R gilt.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien (X,d_X) und (Y,d_Y) metrische Räume. Eine Funktion f\colon X\rightarrow Y heißt Lipschitz-stetig, falls es eine reelle Zahl L gibt, sodass

\forall x_1,x_2 \in X : d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)

erfüllt ist. L wird Lipschitz-Konstante genannt und es gilt stets L \geq 0. Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von f nach oben durch L beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch, sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion f\colon X\rightarrow Y heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in X eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von f auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge A\subset X definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume (A,d_X|A) und (Y,d_Y) ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Lipschitz-stetige Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig (wähle ganz X als Umgebung und stets L als Lipschitz-Konstante). Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig (wähle \delta=\varepsilon/ L in der \varepsilon-\delta-Definition der Stetigkeit), und entsprechend sind Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Daher ist Lipschitz-Stetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion f\colon[0,1]\rightarrow\R,~x\mapsto\sqrt x zwar Hölder-stetig mit Exponenten 1/2 und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe Beispiel).

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht Lipschitz-stetig sind, z. B. f\colon\R\rightarrow\R,~x\mapsto x^2. Eine differenzierbare Funktion f\colon (a,b)\rightarrow\R mit a,b\in\R\cup\{\pm\infty\} ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Anwendung[Bearbeiten]

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktion. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

Menge Lipschitz-stetiger Funktionen[Bearbeiten]

Ist eine Funktion f: D \rightarrow \mathbb{R} mit D\subseteq \mathbb{R} Lipschitz-stetig, so lässt sich der Sachverhalt auch mit f \in \operatorname{Lip}(D) formalisieren. Offensichtlich gilt somit für jedes höchstens lineare Polynom f sowohl die Ungleichung \deg f \leq 1 als auch die Elementrelation f \in \operatorname{Lip}(\mathbb{R}).

Das Skalarprodukt mit jeder Funktion dieser Menge ergibt wiederum ein Element dieser. Formal:

f \in \operatorname{Lip} (D) \Rightarrow \lambda f \in \operatorname{Lip} (D)

Für je zwei Funktionen der Menge ist die Funktion, die sich aus der Addition ergibt, ebenso in der Menge. Formal:

f, g \in \operatorname{Lip} (D) \Rightarrow (f + g) \in \operatorname{Lip} (D)

Womit die Menge \operatorname{Lip} (D) ein Funktionenraum ist.

Ist die Menge D zudem noch beschränkt, so ist für je zwei Funktionen auch die Funktion, die sich aus der Multiplikation ergibt, in der Menge. Formal:

f, g \in \operatorname{Lip} (D) \Rightarrow (f \cdot g) \in \operatorname{Lip} (D)

Dies qualifiziert die Menge \operatorname{Lip} (D) zu einer Funktionenalgebra.

Beispiele[Bearbeiten]

Für eine Lipschitz-stetige Funktion f\colon(X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y) ist der Quotient

\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}

mit x_1\neq x_2 \in X durch jede Lipschitz-Konstante von f nach oben beschränkt. Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.

Daher ist die Funktion f\colon [0,1]\to\R mit x\mapsto\sqrt x wegen

\frac{|f(x_1)-f(0)|}{|x_1-0|}=\frac 1{\sqrt x_1}\xrightarrow{x_1\searrow 0}\infty

zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig, jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig und folglich auch nicht Lipschitz-stetig.

Für die Funktion g\colon[a,b]\to\R mit x\mapsto x^2 folgt mit

L:=\max_{x_1,x_2 \in [a,b]}(|x_1+x_2|)=2\max{(|a|,|b|)},

dass

|g(x_1)-g(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|x_1+x_2|\cdot|x_1-x_2|\leq L\cdot |x_1-x_2|.

Das heißt, L ist eine Lipschitz-Konstante für diese Funktion auf dem Intervall \left[a,b\right].

Weil für g der Quotient gleich |x_1+x_2| ist, folgt, dass g nur für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für einen unbeschränkten jedoch nicht. Die ebenfalls durch g(x)=x^2 definierte Funktion g\colon\R\to\R ist deshalb nicht Lipschitz-stetig.

Die Betragsfunktion h\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definiert als

h(x) = |x|

ist wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung \bigl||x_1|-|x_2|\bigr| \leq |x_1-x_2| Lipschitz-stetig mit L = 1, aber sie ist (an der Stelle x=0) nicht differenzierbar.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]