Lipschitz-Stetigkeit

Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz) bezeichnet in der Analysis eine Verschärfung der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen kann eine Lipschitz-stetige Funktion sich nur beschränkt schnell ändern: für je zwei Punkte auf dem Graph der Funktion hat die Sekante eine Steigung, deren Betrag nicht größer ist als eine Konstante, die Lipschitz-Konstante.

Eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit ist die Hölder-Stetigkeit.

Definition

Eine Funktion $f\colon\R\rightarrow\R$ heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante $L$ existiert, so dass

$|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|$

für alle $x_1, x_2 \in \R$.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume. Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ heißt Lipschitz-stetig, falls es eine reelle Zahl $L$ gibt, sodass

$\forall x_1,x_2 \in X : d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)$

erfüllt ist. $L$ wird Lipschitz-Konstante genannt und es gilt stets $L \geq 0$. Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von $f$ nach oben durch $L$ beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch, sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion $f\colon X\rightarrow Y$ heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in $X$ eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von $f$ auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge $A\subset X$ definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume $(A,d_X|A)$ und $(Y,d_Y)$ ist.

Eigenschaften

Lipschitz-stetige Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig (wähle ganz $X$ als Umgebung und stets $L$ als Lipschitz-Konstante). Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig (wähle $\delta=\varepsilon/ L$ in der $\varepsilon$-$\delta$-Definition der Stetigkeit), und entsprechend sind Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Daher ist Lipschitz-Stetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion $f\colon[0,1]\rightarrow\R,~x\mapsto\sqrt x$ zwar Hölder-stetig mit Exponenten $1/2$ und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe Beispiel).

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht Lipschitz-stetig sind, z. B. $f\colon\R\rightarrow\R,~x\mapsto x^2$. Eine differenzierbare Funktion $f\colon (a,b)\rightarrow\R$ mit $a,b\in\R\cup\{\pm\infty\}$ ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Anwendung

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktion. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

Beispiele

Für eine Lipschitz-stetige Funktion $f\colon(X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y)$ ist der Quotient

$\frac{d_Y(f(x),f(y))}{d_X(x,y)}$

mit $x\neq y\in X$durch jede Lipschitz-Konstante von $f$ nach oben beschränkt. Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.

Daher ist die Funktion $f\colon [0,1]\to\R$ mit $x\mapsto\sqrt x$ wegen

$\frac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|}=\frac 1{\sqrt x}\xrightarrow{x\searrow 0}\infty$

zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig, jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig und folglich auch nicht Lipschitz-stetig.

Für die Funktion $g:[a,b]\to\R$ mit $x\mapsto x^2$ folgt mit

$L:=\max_{x,y \in [a,b]}(|x+y|)=2\max{(|a|,|b|)},$

dass

$|g(x)-g(y)|=|x^2-y^2|=|x+y|\cdot|x-y|\leq L\cdot |x-y|.$

Das heißt, $L$ ist eine Lipschitz-Konstante für diese Funktion.

Weil für $g$ der Quotient gleich $|x+y|$ ist, folgt, dass $g$ nur für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für einen unbeschränkten jedoch nicht.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 136, 212
• Konrad Köngisberger: Analysis 1. 2-te Auflage, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 80

Weblinks

• Lipschitz condition in der Encyclopaedia of Mathematics (abgerufen 2. Dezember 2009)
• Lipschitz continuous auf PlanetMath (abgerufen 2. Dezember 2009)