Liste kleiner Gruppen

Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar

• $\Z_n$ ist die zyklische Gruppe der Ordnung n (die auch als $\Z / n\Z$ geschrieben wird).
• $D_n$ ist die Diedergruppe der Ordnung 2n
• $S_n$ ist die symmetrische Gruppe vom Grad n, mit n! Permutationen von n Elementen.
• $A_n$: ist die alternierende Gruppe vom Grad n, mit n!/2 Permutationen von n Elementen.
• $Dic_n$: ist die dizyklische Gruppe der Ordnung 4n.
• $V_4$ ist die Kleinsche Vierergruppe der Ordnung 4.
• $Q_{4n}$ ist die Quaternionengruppe der Ordnung $4n$ für $n\ge2$.

Die Notation $G\times H$ wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen G und H zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen $\Z_n$, mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nicht-abelsche modulare Gruppe und $\Z_8 \times \Z_2$ haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Liste nicht abelscher Gruppen bis Ordnung 16

Es ist zu beachten, dass $3 \cdot \Z_2$ bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ $\Z_2$ gibt (nicht die Nebenklasse von $\Z_2$).

Ordnung	Gruppe	Echte Untergruppen	Eigenschaften	Zykel-Graph
6	$S_3 \cong D_3$	$\Z_3$ , $3 \cdot \Z_2$	kleinste nicht abelsche Gruppe
8	$D_4$	$\Z_4$, $2 \cdot D_2$ , $5 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$Q_8 \cong Dic_2$	$3 \cdot \Z_4$ , $\Z_2$	nicht abelsch; kleinste Hamiltonsche Gruppe
10	$D_5$	$\Z_5$ , $5 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
12	$D_6 \cong D_3 \times \Z_2$	$\Z_6$ , $2 \cdot D_3$ , $3 \cdot D_2$ , $\Z_3$ , $7 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$A_4$	$\Z_2^2$, $4 \cdot \Z_3$, $3 \cdot \Z_2$	nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satz von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
	$Dic_3 \cong$ zu dem semidirekten Produkt von $\Z_3$ und $\Z_4$	$\Z_2$, $\Z_3$, $3 \cdot \Z_4$, $\Z_6$	nicht abelsch
14	$D_7$	$\Z_7$ , $7 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
16	$D_8$	$\Z_8$ , $2 \cdot D_4$ , $4 \cdot D_2$ , $\Z_4$ , $9 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$D_4 \times \Z_2$	$2 \cdot D_4$ , $\Z_4 \times \Z_2$ , $2 \cdot \Z_2^3$, $7 \cdot \Z_2^2$ ,$2 \cdot \Z_4$ , $11 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$Q_{16} \cong Dic_4$		nicht abelsch
	$Q_8 \times \Z_2$		nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
	Quasi-Diedergruppe		nicht abelsch
	nicht-abelsche modulare Gruppe		nicht abelsch
	Das semidirekte Produkt von $\Z_4$ und $\Z_4$		nicht abelsch
	Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.		nicht abelsch
	$G_{4,4}$		nicht abelsch

Liste aller Gruppen bis Ordnung 16

Ordnung	Gruppe	Echte Untergruppen	Eigenschaften	Zykel-Graph
1	$\Z_1\cong S_1\cong A_2$	-	abelsch, triviale Gruppe genannt
2	$\Z_2\cong S_2\cong D_1$	-	abelsch, kleinste nicht triviale Gruppe
3	$\Z_3\cong A_3$	-	abelsch, einfach
4	$\Z_4$	$\Z_2$	abelsch
	$V_4\cong\Z_2^2\cong D_2$	$3\cdot\Z_2$	abelsch, die kleinste nicht zyklische Gruppe
5	$\Z_5$	-	abelsch, einfach
6	$\Z_6\cong\Z_2\times\Z_3$	$\Z_3$, $\Z_2$	abelsch
	$S_3\cong D_3$	$\Z_3$, $3 \cdot \Z_2$	kleinste nicht abelsche Gruppe
7	$\Z_7$	-	abelsch, einfach
8	$\Z_8$	$\Z_4$, $\Z_2$	abelsch
	$\Z_2\times\Z_4$	$2\cdot\Z_4$, $3\cdot\Z_2$, $D_2$	abelsch
	$\Z_2^3\cong D_2\times\Z_2$	$7 \cdot \Z_2$, $7\cdot D_2$	abelsch
	$D_4$	$\Z_4$, $2\cdot D_2$, $5\cdot\Z_2$	nicht abelsch
	$Q_8\cong Dic_2$	$3\cdot\Z_4$, $\Z_2$	nicht abelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe
9	$\Z_9$	$\Z_3$	abelsch
	$\Z_3^2$	$4\cdot\Z_3$	abelsch
10	$\Z_{10}\cong\Z_2\times\Z_5$	$\Z_5$, $\Z_2$	abelsch
	$D_5$	$\Z_5$, $5\cdot\Z_2$	nicht abelsch
11	$\Z_{11}$	-	abelsch, einfach
12	$\Z_{12}\cong\Z_4\times\Z_3$	$\Z_6$, $\Z_4$, $\Z_3$, $\Z_2$	abelsch
	$\Z_2\times\Z_6\cong\Z_2^2\times\Z_3\cong D_2\times\Z_3$	$3 \cdot \Z_6$, $\Z_3$, $D_2$, $3 \cdot \Z_2$	abelsch
	$D_6\cong D_3\times\Z_2$	$\Z_6$, $2 \cdot D_3$, $3 \cdot D_2$, $\Z_3$, $7 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$A_4$	$D_2$, $4\cdot\Z_3$, $3\cdot\Z_2$	nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
	$Dic_3 \cong$ zu dem semidirekten Produkt von $\Z_3$ und $\Z_4$	$\Z_6$, $3\cdot\Z_4$, $\Z_3$, $\Z_2$	nicht abelsch
13	$\Z_{13}$	-	abelsch, einfach
14	$\Z_{14}\cong\Z_2\times\Z_7$	$\Z_7$, $\Z_2$	abelsch
	$D_7$	$\Z_7$, $7\cdot\Z_2$	nicht abelsch
15	$\Z_{15}\cong\Z_3\times\Z_5$	$\Z_5$, $\Z_3$	abelsch
16	$\Z_{16}$	$\Z_8$, $\Z_4$, $\Z_2$	abelsch
	$\Z_2^4$	$15 \cdot \Z_2$, $35 \cdot D_2$, $15 \cdot \Z_2^3$	abelsch
	$\Z_4\times\Z_2^2$	$7 \cdot \Z_2$, $4 \cdot \Z_4$, $7 \cdot D_2$, $\Z_2^3$, $6 \cdot \Z_4 \times \Z_2$	abelsch
	$\Z_8\times\Z_2$	$3 \cdot \Z_2$, $2 \cdot \Z_4$, $D_2$, $2 \cdot \Z_8$, $\Z_4 \times \Z_2$	abelsch
	$\Z_4^2$	$3 \cdot \Z_2$, $6 \cdot \Z_4$, $D_2$,$3 \cdot \Z_4 \times \Z_2$	abelsch
	$D_8$	$\Z_8$, $2 \cdot D_4$, $4 \cdot D_2$, $\Z_4$, $9 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$D_4\times\Z_2$	$2 \cdot D_4$, $\Z_4 \times \Z_2$, $2 \cdot \Z_2^3$, $7 \cdot \Z_2^2$, $2 \cdot \Z_4$, $11 \cdot \Z_2$	nicht abelsch
	$Q_{16}\cong Dic_4$	$\Z_8$, $2 \cdot Q_8$, $5 \cdot \Z_4$, $\Z_2$	nicht abelsch
	$Q_8\times\Z_2$	$3 \cdot \Z_2 \times \Z_4$, $4 \cdot Q_8$, $6 \cdot \Z_4$, $\Z_2 \times \Z_2$, $3 \cdot \Z_2$	nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
	Quasi-Diedergruppe	$2\cdot\Z_8$, $\Z_2\times\Z_4$, $2\cdot\Z_4$, $\Z_2\times\Z_2$, $3\cdot\Z_2$	nicht abelsch
	nicht-abelsche modulare Gruppe	$3\cdot\Z_2$, $2\cdot\Z_4$, $\Z_2\times\Z_2$, $2\cdot\Z_8$, $\Z_4 \times \Z_2$	nicht abelsch
	Das semidirekte Produkt von $\Z_4$ und $\Z_4$	$3\cdot\Z_2\times\Z_4$, $6\cdot\Z_4$, $\Z_2\times\Z_2$, $3\cdot\Z_2$	nicht abelsch
	Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.	$3\cdot\Z_2\times\Z_4$, $3\cdot D_4$, $Q_8$, $4\Z_4$, $3\cdot\Z_2\times\Z_2$, $7\cdot\Z_2$	nicht abelsch
	$G_{4,4}$	$2\cdot\Z_2\times\Z_4$, $\Z_2\times\Z_2\times\Z_2$, $4\cdot\Z_4$, $7\cdot\Z_2\times\Z_2$, $7\cdot\Z_2$	nicht abelsch

„Small groups library“

Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programm-Bibliothek Small Groups library, welche eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

• alle der Ordnung bis 2000, außer die der Ordnung 1024 (insgesamt 423.164.062 Gruppen);
• alle der Ordnung 5⁵ und 7⁴ (92 Gruppen);
• alle der Ordnung qⁿ×p mit qⁿ teilt 2⁸, 3⁶, 5⁵ oder 7⁴ und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
• alle Gruppen, deren Ordnung n in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O'Brien erstellt.

Siehe auch

• Gruppentheorie
• endliche Gruppe
• Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation
• en:Cycle graph (algebra) englischer Artikel, der die Gruppen-Graphen erläutert

Weblinks

• Thomas Keilen: „Endliche Gruppen“ (PS, dt.), siehe §15 Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 23
• John Pedersen: Groups of small order (engl.)
• Marcel Wild: Groups of Order Sixteen Made Easy (PDF, engl.; 151 kB)
• Artikel über endliche Gruppen (engl.)
• ausführliche Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 28 (engl.)

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