Liste kleiner Gruppen

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Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar[Bearbeiten]

Die Notation G\times H wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen G und H zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen \Z_n, mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nicht-abelsche modulare Gruppe und \Z_8 \times \Z_2 haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass 3 \cdot  \Z_2 bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ \Z_2 gibt (nicht die Nebenklasse von \Z_2).

Liste nicht abelscher Gruppen bis Ordnung 16[Bearbeiten]

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
6 S_3 \cong D_3 [2] \Z_3 , 3 \cdot \Z_2 kleinste nicht abelsche Gruppe
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8 D_4 \Z_4, 2 \cdot D_2 , 5 \cdot \Z_2
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Q_8 \cong Dic_2 3 \cdot \Z_4 , \Z_2 kleinste Hamiltonsche Gruppe
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10 D_5 \Z_5 , 5 \cdot \Z_2
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12 D_6 \cong D_3 \times \Z_2 \Z_6 , 2 \cdot D_3 , 3 \cdot D_2 , \Z_3 , 7 \cdot \Z_2
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A_4[3] \Z_2^2, 4 \cdot \Z_3, 3 \cdot \Z_2 kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satz von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
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Dic_3 \cong Q_{12} \Z_2, \Z_3, 3 \cdot \Z_4,  \Z_6
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14 D_7 \Z_7 , 7 \cdot \Z_2
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16 D_8 \Z_8 , 2 \cdot D_4 , 4 \cdot D_2 ,  \Z_4 , 9 \cdot \Z_2
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D_4 \times \Z_2 4 \cdot D_4, \Z_4 \times \Z_2, 2 \cdot  \Z_2^3, 13 \cdot \Z_2^2, 2 \cdot \Z_4, 11 \cdot \Z_2
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Q_{16} \cong Dic_4 \Z_8, 2 \cdot Q_8, 5 \cdot \Z_4, \Z_2
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Q_8 \times \Z_2 3 \cdot \Z_2 \times \Z_4, 4 \cdot Q_8, 6 \cdot \Z_4, \Z_2 \times \Z_2, 3 \cdot \Z_2 Hamiltonsche Gruppe
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Quasi-Diedergruppe \Z_8, \Q_8, D_4, 3\cdot\Z_4, 2\cdot\Z_2\times\Z_2, 5\cdot\Z_2
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nicht-abelsche modulare Gruppe 2\cdot\Z_8, \Z_4\times\Z_2, 2\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2
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Das semidirekte Produkt von \Z_4 und \Z_4 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 6\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2
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Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 3\cdot D_4, Q_8, 4\cdot Z_4, 3\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2
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G_{4,4} 2\cdot\Z_2\times\Z_4, \Z_2\times\Z_2\times\Z_2, 4\cdot\Z_4, 7\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2
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Liste aller Gruppen bis Ordnung 16[Bearbeiten]

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1 \Z_1\cong S_1\cong A_2 - abelsch, triviale Gruppe genannt
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2 \Z_2\cong S_2\cong D_1 - abelsch, einfach, kleinste nicht triviale Gruppe
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3 \Z_3\cong A_3 - abelsch, einfach
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4 \Z_4 \Z_2 abelsch
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V_4\cong\Z_2^2\cong D_2 3\cdot\Z_2 abelsch, die kleinste nicht zyklische Gruppe
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5 \Z_5 - abelsch, einfach
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6 \Z_6\cong\Z_2\times\Z_3 \Z_3, \Z_2 abelsch
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S_3\cong D_3[2] \Z_3, 3 \cdot \Z_2 kleinste nicht abelsche Gruppe
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7 \Z_7 - abelsch, einfach
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8 \Z_8 \Z_4, \Z_2 abelsch
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\Z_2\times\Z_4 2\cdot\Z_4, 3\cdot\Z_2, D_2 abelsch
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\Z_2^3\cong D_2\times\Z_2 7 \cdot \Z_2, 7\cdot D_2 abelsch
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D_4 \Z_4, 2\cdot D_2, 5\cdot\Z_2 nicht abelsch
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Q_8\cong Dic_2 3\cdot\Z_4, \Z_2 nicht abelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe
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9 \Z_9 \Z_3 abelsch
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\Z_3^2 4\cdot\Z_3 abelsch
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10 \Z_{10}\cong\Z_2\times\Z_5 \Z_5,  \Z_2 abelsch
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D_5 \Z_5, 5\cdot\Z_2 nicht abelsch
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11 \Z_{11} - abelsch, einfach
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12 \Z_{12}\cong\Z_4\times\Z_3 \Z_6, \Z_4, \Z_3, \Z_2 abelsch
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\Z_2\times\Z_6\cong\Z_2^2\times\Z_3\cong D_2\times\Z_3 3 \cdot \Z_6, \Z_3, D_2, 3 \cdot \Z_2 abelsch
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D_6\cong D_3\times\Z_2 \Z_6, 2 \cdot D_3, 3 \cdot  D_2, \Z_3, 7 \cdot \Z_2 nicht abelsch
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A_4[3] D_2, 4\cdot\Z_3, 3\cdot\Z_2 nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
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Dic_3 \cong zu dem semidirekten Produkt von \Z_3 und \Z_4 \Z_6, 3\cdot\Z_4, \Z_3, \Z_2 nicht abelsch
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13 \Z_{13} - abelsch, einfach
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14 \Z_{14}\cong\Z_2\times\Z_7 \Z_7,  \Z_2 abelsch
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D_7 \Z_7,  7\cdot\Z_2 nicht abelsch
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15 \Z_{15}\cong\Z_3\times\Z_5 \Z_5,  \Z_3 abelsch
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16 \Z_{16} \Z_8, \Z_4, \Z_2 abelsch
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\Z_2^4 15 \cdot \Z_2, 35 \cdot D_2, 15 \cdot \Z_2^3 abelsch
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\Z_4\times\Z_2^2 7 \cdot \Z_2, 4 \cdot \Z_4, 7 \cdot D_2, \Z_2^3, 6 \cdot \Z_4 \times \Z_2 abelsch
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\Z_8\times\Z_2 3 \cdot \Z_2, 2 \cdot \Z_4, D_2, 2 \cdot \Z_8, \Z_4 \times \Z_2 abelsch
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\Z_4^2 3 \cdot \Z_2, 6 \cdot \Z_4,  D_2, 3 \cdot \Z_4 \times \Z_2 abelsch
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D_8 \Z_8, 2 \cdot D_4, 4 \cdot D_2, \Z_4, 9 \cdot \Z_2 nicht abelsch
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D_4\times\Z_2 4 \cdot D_4, \Z_4 \times \Z_2, 2 \cdot  \Z_2^3, 13 \cdot \Z_2^2, 2 \cdot \Z_4, 11 \cdot \Z_2 nicht abelsch
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Q_{16}\cong Dic_4 \Z_8, 2 \cdot Q_8, 5 \cdot \Z_4, \Z_2 nicht abelsch
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Q_8\times\Z_2 3 \cdot \Z_2 \times \Z_4, 4 \cdot Q_8, 6 \cdot \Z_4, \Z_2 \times \Z_2, 3 \cdot \Z_2 nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
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Quasi-Diedergruppe \Z_8, Q_8, D_4, 3\cdot\Z_4, 2\cdot\Z_2\times\Z_2, 5\cdot\Z_2 nicht abelsch
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nicht-abelsche modulare Gruppe 2\cdot\Z_8, \Z_4\times\Z_2, 2\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2 nicht abelsch
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Das semidirekte Produkt von \Z_4 und \Z_4 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 6\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMinix3.svg
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 3\cdot D_4, Q_8, 4\cdot Z_4, 3\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2 nicht abelsch
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G_{4,4} 2\cdot\Z_2\times\Z_4, \Z_2\times\Z_2\times\Z_2, 4\cdot\Z_4, 7\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2 nicht abelsch
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„Small groups library“[Bearbeiten]

Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programm-Bibliothek Small Groups library, welche eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis 2000, außer den 49.487.365.422 Gruppen der Ordnung 1024 (bleiben 423.164.062 Gruppen);
  • alle der Ordnung 55 und 74 (92 Gruppen);
  • alle der Ordnung qn×p mit qn teilt 28, 36, 55 oder 74 und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung n in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O'Brien erstellt.[4]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. a b Symmetrische Gruppe 3-ten Grades
  3. a b Alternierende Gruppe 4-ten Grades
  4. http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/

Weblinks[Bearbeiten]

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