Ljapunow-Diagramm

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Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz ba, bekannt als Ljapunow Space
Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz bbbbbbaaaaaa, bekannt als Zircon Zity

In der Mathematik sind Ljapunow-Diagramme (auch bekannt als Ljapunow-Fraktale oder Markus-Ljapunow-Fraktale; nach Alexander Michailowitsch Ljapunow) Fraktale hergeleitet von einer Erweiterung der logistischen Gleichung, in der der Wachstumsgrad der Population, r, periodisch zwischen zwei Werten a und b schwankt.

Die logistische Gleichung lautet:

x_{n+1} = r_n x_n (1 - x_n)

Mit einem Startwert, der üblicherweise bei x_0 = 0{,}5 gewählt wird.

Dabei wird r_n =a oder r_n = b für die n-te Iteration der logistischen Gleichung gewählt, je nach dem Wert an der Stelle n in einer unendlichen Folge, die aus der Hintereinanderreihung von einfachen Mustern (Sequenzen) von Symbolen (a,b) gebildet wird, z. B. mit dem Muster (aababab). Dann werden für Werte (a,b) aus Intervallen, die – um interessante Figuren zu bekommen – meist im Bereich 0 \le a \le 4 und  0 \le b \le 4 gewählt werden, jeweils die Iterationswerte der logistischen Gleichung berechnet und der Ljapunow-Exponent berechnet:

\lambda = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log \left|{dx_{n+1} \over dx_n}\right| = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log |r_n (1 - 2x_n)|

Ist der Wert von \lambda < 0, wählt man für den Punkt mit den Koordinaten (a,b) z. B. gelb als Farbe, ist er größer als Null (was zu exponentiellem Wachstum führt, Chaos), wählt man z. B. blau aus Farbe. Entsprechend kann man die Farbwerte noch abstufen je nach der Größe von \lambda. Das Ergebnis ist das Ljapunow-Diagramm, die häufig fraktaler Natur sind. Ein Beispiel ist das Diagramm Zircon Zity, gebildet mit 3{,}4 \le a \le 4{,}0 und  2{,}5 \le b \le 3{,}4 und der Sequenz (bbbbbbaaaaaa).

Quellen[Bearbeiten]

  • Mario Markus: Ljapunow-Diagramme. Spektrum der Wissenschaft 1995/4, 66–73.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Lyapunov fractals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien